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第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初一 第2试
2019年4月10日 上午9：00至11：00
一、选择题(每小题4分，共40分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正 确的英文字母写在每题后面的圆括号内。 1. 有理数a，b满足20a?11| b |=0 (b?0)，则
a是 (A) 正数 (B) 负数 (C) 非正数 (D) 非负数 。 b2B N Q
2. 如图1，直线MN//直线PQ，射线OA?射线OB，?BOQ=30?。 A 若以点O为旋转中心，将射线OA顺时针旋转60?后，这时图 M 中30?的角的个数是 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 。
P 3. 有理数a，b在数轴上对应的位置如图2所示，
1?b|a?1||a|b?a 那么代数式???的值是
a?1a|a?b||b?1|a ?1 b 1 0 图2
O 图1
(A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 。
F 4. 如图3，ABCD，AEFG，BIHE都是平行四边形，且E是DC的 D S2 E 中点，点D在FG上，点C在HI上。△GDA，△DFE，△EHC， △BCI的面积依次记为S1，S2，S3，S4，则 (A) S1?S2>S3?S4 G S1 (B) S1?S2 2HSH 3 C S4 I B A 图3 5. If x is a prime number, y is an integer, and x21?x=2y?3, than xy2= (A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 。 (英汉小辞典：prime number 质数，integer：整数) A 6. 如图4，AB//CD//EF//GH，AE//DG，点C在AE上，点F在DG上。设 D C 与??相等的角的个数为m，与??互补的角的个数为n，若???，则m?n E F 的值是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 。 ? ? H G 7. 甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10%， 图4 而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10%。最后甲按乙卖给甲的 价格的九折将这些股票卖给了乙，若上述股票交易中的其它费用忽略不计， 则甲 (A) 盈亏平衡 (B) 盈利1元 (C) 盈利9元 (D) 亏损1.1元 。 8. 梯形的上底长5，下底长10，两腰分别长3和4，那么梯形的面积是 (A) 18 (B) 22.5 (C) 26.25 (D) 30 。 A 9. 已知| x |?3，| y |?1，| z |?4且| x?2y?z |=9，则x2y2019z3的值是 (A) 432 (B) 576 (C) ?432 (D) ?576。 10. 如图5，BP是△ABC中?ABC的平分线，CP是?ACB的外 角的平分线，如果?ABP=20?，?ACP=50?，则?A??P= (A) 70? (B) 80? (C) 90? (D) 100? 。 二、填空题 (每小题4分，共40分) 11. 若y2=2x?a，则4x2?4ax?4x2y?2ay2?y4?a2?1= 。 12. 如图6，有两个长度相同的滑梯BC和EF，滑梯BC的高度 AC等于滑梯EF在水平方向上的长度DF，则?ABC??DFE = 度。 20? 50? B B 图5 C E M C A 图6 B D F 13. 能被7整除的各个数码均不相同的最小的十位数是= 。 14. 如图7，?，?，?，?都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3?3平方厘米的正方形， 其中的阴影四边形的面积分别记为S1，S2，S3和S4。则S1，S2，S3和S4中最小的与最大的 和是 平方厘米。 S2 S4 S3 S1 ? ? ? ? 图7 a3c15. 已知x= ?1时，3ax?2bx?cx?2=10，其中a：b：c=2：3：6，那么2= 。 b5 3 2 16. 将长与宽分别为6与4的长方形纸片剪去3个等腰直角三角形后，剩余部分的面积最小是 = 。 17. 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙。如果它们从同 一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔1分钟相遇一次。现在，它们从同一点同时出发， 沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，此时它们行驶了 分钟。 18. 如图8，长方形ABCD的长为8，宽为5，E是AB的中点， 8 C D 点F在BC上，已知△DEF的面积为16，则点D到直线EF 的距离为 。 19. If A= 810?811?812???2010?2011 is a positive interger, then the 810n5 A 16 E 图8 F B 13 maximum value of positive interger n is 。 20. 自然数n的各位数字中，奇数数字的和记为S(n)，偶数数字的和记为E(n)，例如S(134)=1?3 =4，E(134)=4，则S(1)?S(2)?…?S(100)= ，E(1)?E(2)?…?E(100)= 。 三、解答题 每题都要写出推算过程。 21. (本题满分10分) 甲乙两车在A，B两城连续地往返行驶。甲车从a城出发，乙车从b城出发，且比甲车早出发1小时，两车在途中分别距离A、B两城为200千米和240千米的C处第二次相遇。相遇后，乙车改为按甲车的速度行驶，而甲车却提速了，之后两车又再C处第二次相遇。之后如果甲车再提速5千米/时，乙车再提速50千米/时，那么两车在C处再次相遇，求乙车出发时的速度。 22. (本题满分15分) 如图9所示，?C=90?，Rt△ABC中，?A=30?， B’ Rt△A’B’C中，?A’=45?。点A’、B分别在线 B 段AC、B’C上。将△A’B’C绕直角顶点C顺时 针旋转一个锐角? 时，边A’B’分别交AB、AC 于P、Q，且△APQ为等腰三角形。求锐角? C 45? 30? A B’ B ? A’ C P Q 45? 30? A 的度数。 图9 23. (本题满分15分) 若矩形的长、宽和对角线的长度都是数，求证：这个矩形的面积是12的倍数。 A’ 第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初一 第2试简答 一、选择题 1. B， 2. A， 3. D， 4. C， 5. C， 6. D， 7. B， 8. A， 9. D， 10. C， 二、填空题 11. ?1， 12. 90， 13. 1023456798， 14. 7， 15. 56432， 16. ， 17. 12， 18. ， 19. 235150， 20. 501；400， 21. 80千米/时。 22. 15?，60?。 23. [证法1] 设矩形的长、宽和对角线长分别为a，b，c且a，b，c都是整数，则根据勾股定理知 a2?b2=c2，我们只需证明a，b，c中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。 (1) 先证“a，b中必有一个能被3整除”。 若a，b都不是3的倍数，则a2与b2必被3除余1，则c2必被3除余2，但完全平 方数被3除只能余0或1，故矛盾。所以a，b中必有3的倍数，即ab为3的倍数。 (2) 再证“a，b中必有一个能被4整除”。 将a2?b2=c2中的a，b，c的公约数约去，得x2?y2=z2，其中x，y，z两两互质。我 们只需证明“x，y中必有一个能被4整除”即可。首先x，y不能全是奇数，因为， 若x，y均为奇数，则x2与y2必都被4除余1，于是z2必被4除余2，但完全平方 数被4除只能余0或1，故矛盾。所以x，y不能全是奇数。因为x，y互质，所以， x，y也不能全是偶数，因此x，y只能是一奇一偶，不妨设x=2p?1，y=2m (其中p， m均为整数)，此时z是奇数，设z=2q?1 (q为整数)，代入y2=z2?x2中，得 4m2=(2q?1)2?(2p?1)2=4(q2?q?p2?p)，即m2=q(q?1)?p(p?1)，因为q(q?1)与p(p?1)都 是两个连续整数的乘积，所以q(q?1)与p(p?1)都能被2整除，于是m2为偶数，因 此m为偶数，设m=2n (n为整数)，则y=2n=2?2m=4m，于是y能被4整除。 综上，a，b中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。又因为(3，4)=1，所以 a?b能被12整除，即这个矩形的面积必为12的倍数。 [证法2] 设a，b都不是4的倍数，则a，b均为奇数；或a，b中的一个为奇数，另一个为被4 除余2的数；或a，b都是被4除余2的数。 (1) 若a，b均为奇数，则a2与b2必被4除余1，则c2必被4除余2，但完全平方数被 4除只能余0或1，矛盾。 (2) 若a，b中一个是奇数，另一个是被4除余2的数；不妨设a=2k?1，b=2(2m?1) (其 中k，m均为整数)，则a2=4k2?4k?1=4k(k?1)?1。因为连续整数之积k(k?1)能被2 整除，所以a2被8除余1，而b2=22(2m?1)2=16m(m?1)?4，于是b2被32除余4，所 以a2?b2被8除余5，即c2被8除也余5，但完全平方数被8除只能余0或1或4， 矛盾。 (3) 若a，b都是被4除余2的数。设a=2(2k?1)，b=2(2m?1) (其中k，m均为整数)， 则由a2?b2=c2知c2为偶数，于是c为偶数，设c=2n，则a2?b2=(2n)2=4n2，即 22(2k?1)2?22(2m?1)2=4n2，约去公因子4，得(2k?1)2?(2m?1)2=4n2，变成两个奇数平 方和的情形，根据(1)得出矛盾。 综上，假设“a，b都不是4的倍数”不成立，所以“a，b中必有一个能被4整除”成立。