内容发布更新时间 : 2025/1/1 10:43:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第六章线性空间

1.设M?N,证明：MIN?M,MUN?N。

证任取??M,由M?N,得??N,所以??M?N,即证M?NIM。又因M?N?M,故

MIN?M。再证第二式，任取??M或??N,但M?N,因此无论哪一种情形，都有??N,此即。但N?M?N,所以MUN?N。

2.证明M?(N?L)?(M?N)?(M?L)，M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。

证?x?M?(N?L),则x?M且x?N?L.在后一情形，于是x?M?N或x?M?L.所以

x?(M?N)?(M?L)，由此得M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。反之，若x?(M?N)?(M?L)，则x?M?N或x?M?L.在前一情形，x?M,x?N,因此

x?N?L.故得x?M?(N?L),在后一情形，因而x?M,x?L,x?NUL，得

x?M?(N?L),故(M?N)?(M?L)?M?(N?L),

于是M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。

（NIL），则x?M，x?NIL。 若x?MU在前一情形Xx?M因而x?（MUN）。 UN，且X?MUL，I（MUL）在后一情形，x?N,x?L,因而x?MUN,且X?MUL，即X?（MUN）I（MUL）所以 （MUN）I（MUL）?MU（NUL）故 MU（NIL）=（MUN）I（MUL）即证。3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1） 次数等于n（n?1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2） 设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

koa?0；

7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：

koa?a；

8） 全体正实数r，加法与数量乘法定义为：

a?b?ab，koa?ak；

解1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如

（xn?5）?（?xn?2）?3。

2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵} 因为

f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x） 所以

f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）

由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。

3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有

?=A?+B?=-A-B=-（A+B），A+B仍是反对称矩阵。 （A+B）??KA??K，所以kA是反对称矩阵。 （KA）（?A）??（KA）故反对称矩阵的全体构成线性空间。

4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。

5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，a-b）。对于数乘：

即(k?l)?(a,b)?k?(a,b)?l?(a,b)。

2k(k?1)(a1?a2)2)]， 2k(k?1)2k(k?1)2＝(ka1,kb1?a1)?(ka2,kb2?a2)

22k(k?1)2k(k?1)2＝(ka1?ka2,kb1?a1?kb2?a2?k2a1a2)

22k(k?1)2k(k?1)2＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?a1??a2?k2a1a2?ka1a2)

22k(k?1)222(a1?a2))， ＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?2＝[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2?即k?(a1,b1)?(a2,b2)?k?(a1,b1)?k?(a2,b2)，所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为1???0??.。

7）否，因为(k?l)????,k???l???????2?,所以(k?l)???(k??)?(l??)， 所给集合不满足线性空间的定义。

8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足

所以，所给集合R构成线性空间。

?4在线性空间中，证明：1）k0?02）k(???)?k??k?。

证1）k0?k(??(??))?k??k(??)?k??k(?1)??(k?(?k))??0??0。

2）因为k(???)?k??k(?????)?k?,所以k(???)?k??k?。

5证明：在实函数空间中，1，cos2t,cos2t式线性相关的。

?2cos2t?1，所以1，cos2t,cos2t式线性相关的。

证因为cos2t6如果f1(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他

们线性无关。

证若有不全为零的数k1,k2,k3使k1f1(x)?k2f2(x)?k3f3(x)?0，

不妨设k1?0,则f1(x)??kk2f2(x)?3f3(x)，这说明f2(x),f3(x)的公因式也是f1(x)的因k1k1式，即f1(x),f2(x),f3(x)有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以f1(x),f2(x),f3(x)线性无关。

7在P4中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标。设

1）?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1),?3?(1,?1,1?1),?4?(1,?1,?1,1),??(1,2,1,1)；

2）?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1),?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1),??(0,0,0,1)。

?a?b?c?d?1?a?b?c?d?2?解1）设有线性关系??a?1?b?2?c?3?d?4，则?，

?a?b?c?d?1??a?b?c?d?1