内容发布更新时间 : 2024/5/21 22:54:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1．如图，已知二次函数y=m2x2﹣2mx﹣3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE． （1）①线段AB的长为

．

②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）

（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．

【分析】（1）①令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和y轴交点坐标；

（2）先设出M点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点M的坐标，再用勾股定理计算即可．

【解答】解：（1）①令y=0，则（mx﹣3）（mx+1）=0， ∴x=﹣或x=，

∴A（﹣，0），B（，0）， ∴AB=， 故答案为；

②∵二次函数y=m2x2﹣2mx﹣3， ∴C（0，﹣3），对称轴l：x=，

∴D（，﹣3） ∵AB平分∠DAE，

∴点D关于x轴的对称点Q（，3）在直线AE上， ∴直线AE的解析式为y=mx+1， ∵点E是抛物线和直线AE的交点， ∴E（，5）．

（2）设M（x，m2x2﹣2mx﹣3），N（，a） ∵A（﹣，0），E（，5）．

以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形， ①以AE，MN为对角线时， AE，MN的中点重合， ∴﹣+=x+， ∴x=，

∴M（，﹣3）， ∵MA2+ME2=AE2， ∴

+9+

+64=

+25，

∴m=﹣（舍），或m=， ∴M（4，﹣3），

②以AN，ME为对角线时， AN，ME的中点重合， ∴﹣+=x+， ∴x=﹣，

∴M（﹣，21）， ∵AE2+AM2=ME2， ∴

+25+

+441=

+256，

∴m=﹣∴

（舍）或m=

，

③以AM，NE为对角线时， ∴AM，NE的中点重合， ∴x+（﹣）=+， ∴x=， ∴M（，21）， ∵AE2+EM2=AM2， ∴

+25+

+256=

+441，此方程无解，

即：存在，M（4，﹣3）或．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线AB解析式．

2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．