内容发布更新时间 : 2025/1/15 8:45:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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1．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲

35组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．阿

解：记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}． 2132

由题设知P(E)＝，P(E)＝，P(F)＝，P(F)＝. 3355且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立． (1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝E F，于是 122

P(H)＝P(E)P(F)＝×＝，

3515

213

故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－＝.

1515

(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220. 122

P(X＝0)＝P(E F)＝×＝，

3515133

P(X＝100)＝P(EF)＝×＝，

3515224

P(X＝120)＝P(EF)＝×＝，

3515236

P(X＝220)＝P(EF)＝×＝. 3515故所求的X分布列为

X P 数学期望为E(X)＝0×140.

2．现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．

(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；

0 2 15100 3 15120 4 15220 6 152346300＋480＋1 3202 100＋100×＋120×＋220×＝＝＝151515151515

(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 1?2?1?21

解：(1)由题意可知投一次小球，落入B槽的概率为??2?＋?2?＝2. 1?211?1?2＝1. (2)落入A槽的概率为?＝，落入B槽的概率为，落入C槽的概率为?2?4?2?42X的所有可能取值为0,5,10， 1?31P(X＝0)＝??4?＝64，

1111?2121P(X＝5)＝＋×＋?×＝，

242?4?23211111?221

P(X＝10)＝＋×＋×?＝，

4444?4?64X的分布列为

X P

12121105

E(X)＝0×＋5×＋10×＝.

64326416

3.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望． 解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”， C12C2324

则P(A)＝2＝，P(B)＝3＝. C33C55∵事件A与B相互独立，

∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(AB)＝P(A)·P(B) ＝P(A)[1－P(B)] 224

＝×＝. 3515

0 1 645 21 3210 21 64·C44??或P?AB?＝C2＝ 2C3·C315??5

C243

(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝3＝，

C55

122

∵X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝P(ABC)＝××

3554＝， 75

P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC) 22213212320＝××＋××＋××＝， 35535535575P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC) 23222313333＝××＋××＋××＝， 3553553557523318

P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝，

35575∴X的分布列为：

X P 0 4 751 20 752 33 753 18 7513

420331814028

∴X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.

757575757515

4．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)

解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为

3

C354＋C3P＝＝. 3C984

(2)X的所有可能值为1,2,3，

13

C2174C5＋C4

且P(X＝1)＝＝， 3C94211213

C1433C4C2＋C3C6＋C3

P(X＝2)＝＝， 3C9841

C212C7P(X＝3)＝3＝，

C912

故X的分布列为