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《挑战中考数学压轴题》 上海 马学斌 华东师大出版社

中考数学压轴题解题策略（3）

直角三角形的存在性问题解题策略

《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌

专题攻略

解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．

在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．

怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．

例题解析

例? 如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝

4．D、E为线段BC上的两个5动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值．

图1-1

【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．

如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点．

4，所以BH＝8．所以BC＝16． 5BFBEBFx?35由EF//AC，得，即．所以BF＝(x?3)． ??BABC10168在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝

图1-2 图1-3 图1-4

《挑战中考数学压轴题》 上海 马学斌 华东师大出版社

①如图1-3，当∠BDF＝90°时，由cos?B?解方程x?BD44?，得BD?BF． BF5545?(x?3)，得x＝3． 58BF44?，得BF?BD． BD55②如图1-4，当∠BFD＝90°时，由cos?B?解方程x?5815475?x，得x?． 857我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC的“限制”，只需要取其确定的∠B． 例? 如图2-1，已知A、B是线段MN上的两点，MN?4，MA?1，MB?1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成 △ABC，设AB＝x，若△ABC为直角三角形，求x的值．

图2-1

【解析】△ABC的三边长都可以表示出来，AC＝1，AB＝x，BC＝3－x． 如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：

①若AC为斜边，则1?x2?(3?x)2，即x2?3x?4?0，此方程无实根．

5（如图2-2）． 34③若BC为斜边，则(3?x)2?1?x2，解得x?（如图2-3）．

354因此当x?或x?时，△ABC是直角三角形．

33②若AB为斜边，则x2?(3?x)2?1，解得x?

图2-2 图2-3

例? 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2, 0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数y?标．

2(x?0)图象上的一点，且△ABP是直角三角形，求点P的坐x

图3-1

【解析】A、B两点是确定的，以线段AB为分类标准，分三种情况．

《挑战中考数学压轴题》 上海 马学斌 华东师大出版社

如果线段AB为直角边，那么过点A画AB的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B画AB的垂线，有1个交点．

以AB为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．

由题意，得点B的坐标为（2，0），且∠BAP不可能成为直角． ①如图3-2，当∠ABP＝90°时，点P的坐标为（2，1）．

②方法一：如图3-3，当∠APB＝90°时，OP是Rt△APB的斜边上的中线，OP＝2． 设P(x,)，由OP2＝4，得x?2

x

24?4．解得x??2．此时P(2,2)． x2

图3-2 图3-3

方法二：由勾股定理，得PA2＋PB2＝AB2．

解方程(x?2)?()?(x?2)?()?4，得x??2． 方法三：如图3-4，由△AHP∽△PHB，得PH2＝AH·BH． 解方程()?(x?2)(x?2)，得x??2．

22x222x222x2

图3-4 图3-5

这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x2－2)2＝0．这个四次方程的解是x1＝x2＝2，x3＝x4＝?2，它的几何意义就是以AB为直径的圆与双曲线相切于P、P′两点（如图3-5）．

例? 如图4-1，已知直线y＝kx－6经过点A(1,－4)，与x轴相交于点B．若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．