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2002级量子力学期末考试试题和答案

A卷

一、简答与证明：（共25分）

1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）

3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）

22??i(px?xp)是厄密算符 （5分） xx4、证明

?x之间的测不准关

5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量p???B??0，求 ??B?A?2?B?2?1，且A二、（15分）已知厄密算符A,B，满足A?、B?的矩阵表示； 1、在A表象中算符A?的本征值和本征函数； 2、在B表象中算符A3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 三、（15分）设氢原子在t?0时处于状态

111R21(r)Y10(?,?)?R31(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)222，求

?(r,0)???2和Lz的取值几率和平均值； 1、t?0时氢原子的E、L??2和Lz的取值几率和平均值。2、t?0时体系的波函数，并给出此时体系的E、L 四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符

?100??0C0??????H??030???C00??00?2??00C????? 由下面的矩阵给出

??H?(0)?H??，C是一个常数，C??1，用微扰公式求能量至二级修这里，H正值，并与精确解相比较。

五、（10分）令S??Sx?iSy，S??Sx?iSy，分别求S?和S?作用于Sz的本征态

?1??0?11????????????2?0?和2?1?的结果，并根据所得的结果说明S?和S?的重要性是什么？

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答案

一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：??Ae取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：

1??1(q1)?2(q2)??1(q2)?2(q1)?2。

i??(p?r?Et)?

2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的

?A?222?x是厄密算符，所以??x[p?x,x]?i[p?x,x]p?x?2?p?x，因为p??i[p,x]?ipi(px?xp)xxx4、=22?x?xi(px?xp)是厄密算符。

?，k是一个算符或普通的数。以F、G和?的对易关系F??G?F?G??ik?和G5、设F?和k在态?中的平均值，令 ?F??G??G， ??F??F，?G?、Gk依次表示F2k2??)?(?G)?(?F4，这个关系式称为测不准关系。 则有

2?x之间的测不准关系为：坐标x和动量p?x??x??p?2

?2?1，所以算符A?的本征值是?1，因为在A表象中，算符A?二、解1、由于A10??(A)????A???的矩阵是：?0?1? 的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符Ab11b12??(A)????B??bb?B??0得：??B?A?2122??，利用A设在A表象中算符B的矩阵是

?0b12??0b12??b12b21????????????2?1，所以?b210??b210??0b11?b22?0；由于B0???1?b21b12?，

?0?11??b12??b21；由于B?是厄密算符，B???B?，??b12b12????0??0???b*??121?*?b12??b?112*0?b12?

i?b?e?在A表象中的矩阵表示式为：12令，其中?为任意实常数，得B0?(A)????i?B?e?ei???0??

0?(B)????i?A?e?的矩阵表示为：?2、类似地，可求出在B表象中算符Aei???0??

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?0??i??e?A在B表象中算符的本征方程为：??ei???ei???????????????????????????????i????0???????，即?e?????

?????ei???0??i???e?????0?和?不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即

??e?i?ei??0????2?1?0????1

?A1?ei??1?ei????????A?????1???212?? ??1???1??，对对有：有：

1?ei??1?ei??????????1?1?22???? ?1A所以，在B表象中算符的本征值是，本征函数为和1?ei??1?ei??????????1?1?22???? ?1B3、类似地，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和?在A表象中的本征函数按列排成从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符B1?ei??S??12?的矩阵，即

e?i????1??

es21En??22an0三、解： 已知氢原子的本征解为：

(n?1,2,3?)

?nlm(r,?,?)?Rnl(r)Ylm(?,?)，将?(r,0)向氢原子的本征态展开，

1、?(r,0)=nlmc210(0)??cnlm(0)?nlm(r,?,?)，不为零的展开系数只有三个，即

11c(0)??1c(0)?31021?12，2，显然，题中所给的状态并未归一2，

4化，容易求出归一化常数为：5，于是归一化的展开系数为：

c210(0)?1141c310(0)???255，2W(E2,0)?421??c21?1(0)?55， 242?55

（1）能量的取值几率平均值为：

E?1232??W(E3,0)?555，5，

32E2?E355

?2取值几率只有：W(2?2,0)?1，平均值L?2?2?2 （2）L 专业知识分享