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6-1-2.还原问题（二）

教学目标

倒推法解决问题．

本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用

1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题． 2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题． 3. 培养学生“倒推”的思想．

知识点拨

一、还原问题

已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．

还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．

二、解还原问题的方法

在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 方法：倒推法。

口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．

关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变

减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.

例题精讲

模块一、单个变量的还原问题

【例 1】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二

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1111口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的．此时

4563瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？

【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法

??1??1??1??1??1??【解析】 最开始瓶子里有矿泉水：0.5???1????1????1????1????1????3（升）．

23456????????????【答案】3升

【例 2】 李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（ ）斗酒。 【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法，走美杯，六年级

【解析】 设李白壶中原有x斗酒，则三次经过店和花之后变为0

2?[2?(2x?1)?1]?1?0 8x?7?0

7x?8

7即壶中原有斗酒.

87【答案】斗

8

【例 3】 有60名学生，男生、女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生

放开手，可以分成18个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了_ _个小组． 【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初赛，3题

【解析】 方法一：男生和女生放手分成18个组，说明有男生被计算18次，男生与男生放开手后分成的组数和

男生数相同，但是因为是围成了一圈，所以刚刚计算人数会被算成了两次，所以按照逆推的原则，原来有男生30人，被计算30?2=60（次），所以?60?18??2=21（次）分成了21组。

方法二：60名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有60对牵着的手，其中男生与女生牵手的有18对，假设男生与男生牵手的有x人，那么，参与围圈的男生一共有?2x?18??2?x?9人，所以x?9?30，x?21．那么原来牵手的男生和男生放手，分成了21个小组．

【答案】21个小组

模块二、多个变量的还原问题

【例 4】 甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，

于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。这时四个组的书一样多。这说明甲组原来有书______ 本。 【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】 甲得到4本，乙失去1本，丙失去2本，丁失去1本后，四个人书一样多，为280÷4=70，所以甲原

来有70-4=66本书

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【答案】66本书

【例 5】 一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有140只沙袋．如果甲组先给乙组5只，

乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只? 【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法

【解析】 甲乙两组的沙袋经历了两次交换．第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为140只，所以这时

两组各有沙袋70只．解答时可以从70开始倒推．列表倒推如下：

解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推．因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所以应从两组各有沙袋70只开始倒推．

【答案】甲67，乙73

【巩固】 甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出

与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？ 【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法

【解析】 如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树28?2?14（棵），乙班有28?14?42（棵），如

果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树42?2?21（棵），甲班原有树14?21?35（棵）．列表倒推如下:

【答案】甲班原有树35棵，乙班原有树21棵

【例 6】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和

乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？ 【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法

【解析】 我们从最后一步倒着分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是

32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有32?2?16(个)棋子，而甲堆的棋子数是32?16?48(个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所

以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子．

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