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2011年全国初中数学竞赛试题

考试时间：2011年3月20日9：30——11：30 满分：150分 答题时注意：

1、用圆珠笔或钢笔作答； 2、解答书写时不要超过装订线； 3、草稿纸不上交。

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、设x?5?3，则代数式x(x?1)(x?2)(x?3)的值为（ ） 2A、0 B、1 C、﹣1 D、2

2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b）与(c, d)之间的运算“△”为：（a, b）△（c, d）＝（ac+bd, ad+bc）。如果对于任意实数u, v,都有（u, v）△（x, y）＝（u, v）,那么（x, y）为（ ） A、（0, 1） B、（1, 0） C、（﹣1， 0） D、（0, ﹣1）

3、已知A，B是两个锐角，且满足sin2A?cos2B?t，cos2A?sin2B?t2，则实数t所有可能值的和为（ ）

A、? B、? C、1 D、4、如图，点D、E分别在△ABC上，BE、CD相交于点F，设

S?BDF＝S2，S?BCF＝S3，S?CEF＝S4，

835311 35434的边AB、AC

AS四边形EADF＝S1，

则S1S3与S2S4的大小关系为（ ） A、S1S3﹤S2S4 B、S1S3＝S2S4 C、S1S3﹥S2S4

DFEBC

D、不能确定

第4题图

5、设S＝3+11111++?+，则4S的整数部分等于（ ） 333232011A、4 B、5 C、6 D、7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6、两条直角边长分别是整数a, b（其中b<2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 .

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两个数字和为5的概率是 . 8、如图，双曲线y? （x?0）与矩形OABC的边BC， BA分别交于点E， F， 且AF＝BF，连结EF，则△OEF的面积为 .

9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为 .

1?10c?d10、设四位数abcd满足a3?b3?c3?d3?，则这样的四位数的个数

2

x

为 .

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11、已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程

x2?ax?b?0的两个根都大1, 求a?b?c的值.

12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D， 延长AD交CH于点P， 求证：点P为CH的中点.

AO1HDPBO2C

13、若从1,2,3,?，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5， 其中总有一个整数是素数，求n的最大值.

14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°,AB＝2AC. 点P在△ABC内,且PA=3, PB=5, PC=2, 求△ABC的面积.

APB

C