内容发布更新时间 : 2024/12/23 2:32:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
4．4 典型例题精解
４.４.１ 判断过程的方向性，求极值
例题 ４－１ 欲设计一热机，使之能从温度为973K的高温热源吸热2000kJ，并向温度为303K的冷源放热800kJ。（１）问此循环能否实现？（２）若把此热机当制冷机用，从冷源吸热800K，能否可能向热源放热2000kJ？欲使之从冷源吸热800kJ,至少需耗多少功？
解 （１）方法１：利用克劳修斯积分式来判断循环是否可行。如图４－5a所示。
?Q|Q||Q??T?T?T1r12|?22000kJ800kJ-=-0.585kJ/K<0
973K303K所以此循环能实现，且为不可逆循环。
方法２：利用孤立系统熵增原理来判断循环是否可行。如图４－5a所示，孤立系由热源、冷源及热机组成，因此
?Siso??SH??SL??SE?SE?0 （a）
式中：和分别为热源及冷源的熵变；为循环的熵变，即工质的熵变。因为工质经循环恢复到原来状态，所以
?SE?0 （b） 而热源放热，所以 ?SH??冷源吸热，则 ?SL?|Q1|2000kJ （c） ???2.?055kJ / KT1973K|Q2|800kJ （d） ??2.640kJ /KT2303K将式（b）、（c）、（d）代入式（a），得
?Ssio?(?2.055?2.640?0)kJ/K?0 所以此循环能实现。
方法３：利用卡诺定理来判断循环是否可行。若在T1和T2之间是一卡诺循环，则循环效率为
?c?1?T2303K?1??68.9% T1973K而欲设计循环的热效率为
?t?W|Q|?|Q2|?1 |Q1||Q1|800kJ?60%??c
2000kJ ?1?即欲设计循环的热效率比同温度限间卡诺循环的低，所以循环可行。
（２）若将此热机当制冷机用，使其逆行，显然不可能进行，因为根据上面的分析，此
热机循环是不可逆循环。当然也可再用上述３种方法中的任一种，重新判断。
欲使制冷循环能从冷源吸热800kJ，假设至少耗功Wmin，根据孤立系统熵增原理，此时，
?Siso?0参见图４－5b
?Siso??SH??SL??SR?|Q1||Q2|??0 T1T2min ?|Q|?Wmin|Q|2800kJ+W??T1T2973K?800kJ?0
303K于是解得 Wmin?1769kJ
讨论
（１）对于循环方向性的判断可用例题中３种方法的任一种。但需注意的是：克劳修斯 积分式适用于循环，即针对工质，所以热量、功的方向都一工质作为对象考虑；而熵增原理适用于孤立系统，所以计算熵的变化时，热量的方向以构成孤立系统的有关物体为对象，它们吸热为正，放热为负。千万不要把方向搞错，以免得出相反的结论。
（２）在例题所列的３种方法中，建议重点掌握孤立系熵增原理方法，因为该方法无论对循环还是对过程都适用。而克劳修斯积分式和卡诺定理仅适用于循环方向性的判断。
例题４－２ 已知Ａ、Ｂ、Ｃ３个热源的温度分别为500K、400K和300K，有可逆机在这３个热源间工作。若可逆机从Ａ热源净吸入3000kJ热量，输出净功400kJ，试求可逆机与Ｂ、Ｃ两热源的换热量，并指明其方向。
分析：由于在Ａ、Ｂ、Ｃ间工作一可逆机，则根据孤立系熵增原理有等式?Siso?0成立；又根据热力学第一定律可列出能量平衡式。可见２个未知数有２个方程，故该题有定解。关于可逆机于B、C两热源的换热方向，可先假设为如图４－６所示的方向，若求出的求知量的值为正，说明实际换热方向与假设一致，若为负，则实际换热方向与假设相反。
解 根据以上分析，有一下等式成立.
QA?QB?Qc?W
?Siso? ?QAQBQc???0TATBTc 即
3000kJ?QB?Qc?400kJ
Qc3000kJQB????0500K400K300K解得
QB??3200kJQC??600kJ
即可逆机向Ｂ热源放热3200kJ，从Ｃ热源吸热600kJ。
例题４－３ 图４－７所示为用于生产冷空气的设计方案，问生产1kg冷空气至少要给
装置多少热量QH,min。空气可视为理想气体，其比定压热容cP?1kJ/(kg?K)。
解 方法１
见图４－７，由热力学第一定律的开口系的能量平衡式为 QH?mcPT3?QL?mcPT4 即 QL?QH?mcP(T3?T4)
由热力学第二定律，当开口系统内进行的过程为可逆过程时，可得 ?Siso??SH??SL??Sair?0 即
? ?QH,minT1QH,min?QH,min?mcP(T3?T4)T2?mcPlnT4?0T3
1500K?QH,min?1kg?1kJ/(kg?K)?(313-278)K300K278K?0313K?1kg?1kJ/(kg?K)ln解得生产1kg冷空气至少要加给装置的热量为 QH,min?0.718kJ
方法２
参见图４－８，可将装置分解为一可逆热机和一可逆制冷机的组合。对于可逆制冷机
?Q1??W??Q2 ?Q1?Q2
TH由此得系统对外作功为 ?W?(?T3THT?1)?Q2??(H?1)mcpdT3 T3T3空气自T3?313K变化到T4?278K时 W??T4T3(THT?1)mcpdT3?cpTHln4??142.87kJ T3T3可求得 Q'H?TH1500K|W|??142.87kJ?178.59kJ
TH?T21500K-300K Q1?|W|?Q2?|W|?mcP(T3?T4)
?142.87kJ?1kg?1kJ/(kg?K)?(313-278)K?177.87kJ
于是，生产1kg冷空气至少要加给装置的热量为
QH,min?Q'H?Q1?(178.59?177.87)kJ=0.72kJ
例题４－4 ５kg的水起初与温度为295K的大气处于热平衡状态。用一制冷机在这5kg水与大气之间工作，使水定压冷却到280K，求所需的最少功是多少？
解 方法１
根据题意画出示意图如图４－９所示，由大气、水、制冷机、功源组成了孤立系，则熵变 ?Siso??SH??SL??SR??SW 其中 ?SR?0,?SW?0 ?SL??280K?Q2T2295K??280K295KmcdT2280K ?mclnT2295K280K??1090.7J/K
295K?5kg?4180J/(kg?K)ln ?SH?Q1|Q2|?|W| ?T0T05kg?4180J/(kg?K)(295?280)K?|W|295K
313500J+|W|?295K?于是 ?Siso??10970.7J/K+313500J|W|+
295K295K因可逆时所需的功最小，所以令?Siso?0，可解得 |Wmin|=8256J=8.256kJ
方法２
制冷机为一可逆机时需功最小，由卡诺定理得 ???Q2T2 ??WT0?T2T0?T2T?T)?02mcdT2 T2T2即 ?W??Q2(
280KdT2W??T0mc?mcdT2295KT2?295K280K280K-mc(280-295)K295K 280K
?295K?5kg?4180J/(kg?K)ln295K?5kg?4180J/(kg?K)(280?295)K?T0mcln??8251.2J=-8.251kJ例题４－５ 图４－10为一烟气余热回收方案，设烟气比热容cp?1.4kJ/(kg?K)，
cV?1kJ/(kg?K)。试求：
（１）烟气流经换热器时传给热机工质的热量； （２）热机放给大气的最小热量Q2； （３）热机输出的最大功w。 解 （１）烟气放热为
Q1?mcp(t2?t1)
?6kg?1.4kJ/(kg?K)?(527?37)?K ?4116?103
?4116kJ（２）方法１：若使Q2最小，则热机必须是可逆循环，由孤立系熵增原理得 ?Siso??SH??SL??SE?0 而 ?SH??T2?Q1TT1??mcpT1T2dTT?mcpln2 TT1(37?273)K(527?273)K
?6kg?1.4kJ/(kg?K)ln??7.964?103J/K?SE?0
?SL?Q2Q2Q2
??T0(27?273)K300K3于是 ?Siso??7.964?10J/K?解得 Q2?2389.2kJ
Q2?0
300K