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第五章习题答案

5-1解：

穿过速度v运动的矩形线框的磁链为：

?m?N?SBdS?N?a?vt2a??vt2Bmcos?ky?bdy?NBmb??ka??ka??sin?vt?sin??vt????? k?22??????所以，线框的感应电动势为：

????NBb??kad?m??ka????d?m?sin??vt??sin???vt???/dtdt??2????k??2

?ka???2NBmbvsin??sin?kvt??2?

5-2 如题图所示，一半径为a的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B中以等角速度?旋转，其轴线与磁场平行。在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷。这一装置称为法拉第发电机。试

Ba2?证明两电刷之间的电压为。

2

证明：，选圆柱坐标， ?z

??????Eind?v?B?ve??Bez?vBe? ?其中 v???e?

??v ?

a?????Eind?dl?la??Ba??B??d???2020??Bve??d?e?

题图5-2

证毕 5-3解：

uUm?sin?t ddU?D?0?E???0?mcos?t 则位移电流密度为：JD??t?td平板电容器极板间的电场强度为：E?5-4 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为r1?1cm、r2?4cm，长度l?0.5cm，极板间介质的介电常数为4?0，极板间接交流电源，电压为u?60002sin100?tV。求

t?1.0s时极板间任意点的位移电流密度。

解法一：因电源频率较低，f=50Hz为缓变电磁场，可用求静电场方法求解。忽略边沿效应，电容器中的场为均匀场，选用圆柱坐标，设单位长度上内导体的电荷为?，外导体电荷为

??，因此有

E???2??e?? r1???r2

0?u??r2E??rr?1dl??r2r1??d???2??ln22

0?0r1???ulnr22?? 0r1所以 E??ue? ， D???u?lnr2?r?lnre2?? 1r1J??D???u?d??t?60002?100?cos100?te??lnr2?te???r?lnr2r?11当t?1s时

??4?8.85?10?12Jd

ln4??60002?100?cos100?e??

?6.81?10?5e???A/m2解法二：用边值问题求解，即

???2??0???u??1 ????0??4 由圆柱坐标系有

1????(?????)?0 解式(1)得

??c1ln??c2

由边界条件得： cu1??ln4 c2?u ????uln4ln??u

所以 E??????60002sin100?t?ln4e??

D???E??4?060002sin100?t??ln4e?

A/m2

(1)

???D4?060002cos100?t JD???100?e?

?t?ln4当t?1s时

?6.81?10?5?AJD?e?(?m2)

5-5由圆形极板构成的平板电容器(a??d)见题图所示，其中损耗介质的电导率为?、介电系数为?、磁导率为?，外接直流电源并忽略连接线的电阻。试求损耗介质中的电场强度、磁场强度和坡印廷矢量，并根据坡印廷矢量求出平板电容器所消耗的功率。 解：由于电容器两端的电压为直流电压，因此没有位移电流，只有漏电流。 ?U?U??R2Uez ,I??由 U?Ed 知 E? dRd电流强度均匀分布且垂直于极板，在介质内部，

?H + ? a d ?,?,? ?U?ez 电场强度为：E?d在任意一点的电流密度：J??E?U0

?Udez

- z 题图5-5

利用安培环路定律可得任一点的磁场强度为：

H2?????2故H??Ud

?U2d?e?

所以玻印亭矢量为：

U?U?U2S?E?H?ez??e???e?? 2d2d2d外部空间进入电容器的总功率，即电容器消耗的功率为：

P???sSds??a???U22d2a2?ad???a2?dU2

负号表明电容器吸收功率。 由于电容器的电导为:

2??d?I?dG???UU故：

a0?U?U?a2dU???a2d