内容发布更新时间 : 2024/11/16 8:46:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第七章 非线性控制系统

本章讲述非线性控制系统的基本概念和分析方法。首先介绍非线性系统的数学描述、非线性特性的分类、非线性系统的特点。在此基础上，介绍了经典控制理论中研究非线性控制系统的两种常用方法：描述函数法和相平面法。并介绍了非线性环节的串并联的特性，以及引入非线性特性对系统性能的改善。最后介绍应用MATLAB进行非线性系统的频率特性和时域响应的分析，以及应用MATLAB绘制非线性系统的相平面图。

教材习题同步解析

7.1 求下列方程的奇点，并确定奇点的类型。

??(1?x)x??x?0 x（1）???(0.5?3x)x??x?x?0 x（2）?解：（1） 由题得：

222????x?f?x?,x? x?(1?x2)x?,x?为解析函数。若以x为自变量，x?为因变量，则上式可改写为 式中f?x?,x???xf?x? ??xx考虑到

???xdx，因此有 ?dx?xdtdt?,x??f?xdx ??dxx根据奇点的定义

?0dx?，列方程组为 dx0??0?x ???f?x,x??0得到系统的奇点为

??0?x ?x?0??,x?进行泰勒级数展开，保留一次项有 即奇点在坐标原点。在奇点（0，0）处，将f?x

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?,x??f?0,0??f?x?,x??,x??f?x?f?x??x??x?x?x?x??x?0??x?0x??x?0x?0?(1?x2)??x?x奇点附近线性化方程为

??(2xx??1)?x??x?0x?x

???f?x?,x??x??x x其特征方程为

s2?s?1?0

特征根为

?1,2?13 ?j22为s平面的右半部分的共轭复数根，故奇点为不稳定焦点。概略画出奇点附近的相轨迹如图7.1（a）所示：

（2）由题得：

???(0.5?3x2)x??x?x2?f?x?,x? x由

??0?x ???f?x,x??0得到

??0?x ?x?0或?1?即奇点为（0，0）和（-1，0）。

?x?xxx（a） （b）

图7.1 题7.1 奇点附近的相轨迹

?,x?进行泰勒级数展开，保留一次项有 1）在奇点（0，0）处，将f?x 175

?,x??f?0,0??f?x?,x??,x??f?x?f?x??x??x?x?x?x??x?0??x?0xx?x?0?(0.5?3x2)??奇点（0，0）附近线性化方程为：

??(?6xx??1?2x)x?x?x ??x?01??xx21??x x2???x其特征方程为

1s2?s?1?0

2特征根为：

?1,2??j1415?0.25?j0.984 4为s平面的右半部分的共轭复数根，故奇点（0，0）为不稳定焦点。

?,x?进行泰勒级数展开，保留一次项有 2）在奇点（-1，0）处，将f?x?,x??f??1,0??f?x?(0.5?3x2)?,x??f?x??x??0xx??1??0xx??1??0)??(x?,x??f?x?x??0xx??1??0xx??1?(x?1)

??(?6xx??1?2x)?x?(x?1)5??x?1??x2??x坐标系的奇点（-1，0）??x?，?????。即x在奇点（-1，0）处，进行坐标变换，令y?x?1，则y，yx??变换为yy坐标系下的奇点（0，0）。因此有

5????y??y y2其特征方程为

5s2?s?1?0

2特征根为：

?3,4???5441 4??x坐标系下的奇点（-1，0）为鞍点。 为一正一负的两个实数根，故x概略画出奇点附近的相轨迹如图7.1（b）所示：

7.2 利用等倾线法画出下列方程的相平面图。

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