内容发布更新时间 : 2024/12/26 6:08:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
【学习目标】
1.了解一元二次方程及有关概念;
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程; 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念:
通过化简后,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程.
2. 一元二次方程的一般式:
3.一元二次方程的解:
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根. 要点诠释:
判断一个方程是否为一元二次方程时,首先观察其是否是整式方程,否则一定不是一元二次方程;其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0,看是否具备另两个条件:①一个未知数;②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0. 要点二、一元二次方程的解法 1.基本思想
?一元一次方程 一元二次方程???2.基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 要点诠释:
解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解
法,再考虑用公式法.
要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式
2一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)中,b?4ac叫做一元二次方程
2降次ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式,通常用“?”来表示,即??b2?4ac.
(1)当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根; (2)当△=0时,一元二次方程有2个相等的实数根; (3)当△<0时,一元二次方程没有实数根.
【高清ID号:388528 关联的位置名称(播放点名称):根系关系】 2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1,x2, 那么x1?x2??2bc,x1x2?. aa注意它的使用条件为a≠0, Δ≥0.
要点诠释: 1.一元二次方程
的根的判别式正反都成立.利用其可以解决以下问
题:
(1)不解方程判定方程根的情况; (2)根据参系数的性质确定根的范围; (3)解与根有关的证明题.
2. 一元二次方程根与系数的应用很多:
(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;
(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数; (3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程. 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节: 一是整体地、系统地审题; 二是把握问题中的等量关系;
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤:
审 (审题目,分清已知量、未知量、等量关系等); 设 (设未知数,有时会用未知数表示相关的量); 列 (根据题目中的等量关系,列出方程);
解 (解方程,注意分式方程需检验,将所求量表示清晰); 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义); 答 (写出答案,切忌答非所问). 4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
要点诠释:
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题(列方程),然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.
【典型例题】
类型一、一元二次方程的有关概念
1.已知(m-1)x+3x-2=0是关于x的一元二次方程,求m的值. 【答案与解析】
依题意得|m|+1=2,即|m|=1, 解得m=±1,
又∵m-1≠0,∴m≠1, 故m=-1.
【总结升华】依题意可知m-1≠0与|m|+1=2必须同时成立,因此求出满足上述两个条件的m的值即可.
特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.
举一反三:
【变式】若方程(m?2)xm2|m|+1
?3mx?1?0是关于x的一元二次方程,求m的值.
2??m?2,【答案】 根据题意得? 解得
??m?2?0,2所以当方程(m?2)xm?3mx?1?0是关于x的一元二次方程时,m??2.
类型二、一元二次方程的解法
2.解下列一元二次方程.
(1)4(x?3)?25(x?2)?0; (2)5(x?3)?x?9; (3)(2x?1)?4(2x?1)?4?0. 【答案与解析】
(1)原方程可化为:[2(x?3)]?[5(x?2)]?0, 即(2x-6)-(5x-10)=0,
∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)=0, 即(7x-16)(-3x+4)=0,
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