内容发布更新时间 : 2024/5/9 18:41:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高数

一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）

1、已知向量a、b满足a+b=0，a=2，b=2，则a?b= ?3z2、设z=xln(xy)，则= 2?x?y

3、曲面x2+y2+z=9在点(1,2,4)处的切平面方程为．

4、设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π)上的表达式为f(x)=x，则f(x)的傅里叶级数 在x=3处收敛于 ，在x=π处收敛于 ．

5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则?(x+y)ds=． L

※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．

二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 222??2x+3y+z=91、求曲线?2在点M0(1,-1,2)处的切线及法平面方程． 22??z=3x+y

2、求由曲面z=2x+2y及z=6-x-y所围成的立体体积． 3、判定级数2222∑(-1)nln

n=1∞n+1是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ n

x?z?2z4、设z=f(xy,)+siny，其中f具有二阶连续偏导数，求． ,y?x?x?y 5、计算曲面积分dS,其中∑是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0

三、（本题满分9分） 抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分）

计算曲线积分?L(exsiny-m)dx+(excosy-mx)dy，

22其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x+y=ax(a>0)． 第 1 页 共 2 页 高数

四、（本题满分10分） xn

求幂级数∑n的收敛域及和函数． n=13?n∞

五、（本题满分10分）

计算曲面积分I=??2xdydz+2ydzdx+3(z ∑332-1)dxdy，

其中∑为曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧．

六、（本题满分6分）

设f(x)为连续函数，f(0)=a，F(t)=222z=

[z+f(x+y+z)]dv，其中是由曲面Ω

t??? Ωt

与z=所围成的闭区域，求 lim+t→0F(t)． t3 高等数学(下册)期末考试试题 参考解答与评分标准

填空题【每小题4分，共20分】 1、-4； 2、-

一、试解下列各题【每小题7分，共35分】 1；3、2x+4y+z=14； 4、3，0； 5

2y

dz?dy3y+z=-2x?dy5xdz7x?dxdx1、解：方程两边对x求导，得?， 从而，…………..【4】 ==-dx4ydx4z?ydy-zdz=-3x?dx?dx

571该曲线在(1,-1,2)处的切向量为T=(1,,)=(8,10,7).…………..【5】 488 故所求的切线方程为x-1y+1z-2………………..【6】 ==8107

法平面方程为 8(x-1)+10(y+1)+7(z-2)=0 即 8x+10y+7z=12……..【7】

?z=2x2+2y2

2222Ω?２、解：?，该立体在面上的投影区域为 xOyx+y=2D:x+y≤2．…..【2】xy22z=6-x-y? 第 2 页 共 2 页 高数

故所求的体积为V =

???dv=?dθΩ 2π0

dρ? 6-ρ22ρ 2

dz=2π0

(6-3ρ2)dρ=6π……..【7】

∞ 11n

３、解：由limnun=limnln(1+)=limln(1+)=1>0，知级数∑un发散…………………【3】

n→∞n→∞nn→∞nn=1 又|un

111

【7】 |=ln(1+)>ln(1+)=|un+1|,lim|un|=limln(1+)=0.故所给级数收敛且条件收敛． n→∞n→∞nn+1n ４、解：

?z11

=(f1'?y+f2'?)+0=yf1'+f2'， …………………………………【3】 ?xyy

1x?2zx11x

''-2f2'-3f22''.【7】''?x+f12''?(-2)]-2f2'+[f21''?x+f22''?(-2)]=f1'+xyf11 =f1'+y[f11 yy?x?yyyyy ５、解：∑

的方程为z==∑在xOy面上的投影区域为Dxy={(x,y)|x2+y2≤a2-h2}．

…..………【３】