内容发布更新时间 : 2024/5/10 3:13:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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满足条件的C 的集合在：过A、B做线段AB的垂线及以AB为直径的圆上的除

A、B两点的任意点都可与A、B组成直角三角形。（所谓的“两线一圆”）。

12．等边三角形面积的求法。S边长为a的等边三角形?13．求面积的套路：

⑴．复杂图形：一拆用加；二放用减。

⑵．三角形：①面积公式；②两边与夹角正弦的

积的一半（遇钝变补）；③铅垂线法（宽高法）； ④等边三角形的面积。⑤利用：相似比的平方 =面积比（借助面积可求的三角形的面积和 相似比求解）。⑥让出去：化归。

宽高AB32a 4（3）平行四边形面积=两邻边与其夹角的正弦的乘积；菱形的面积=边长的平方与一个

内角的正弦的乘积；梯形的面积=两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半。 （4）．共（有一个角相等）角三角形：面积的比等于等角两边乘积的比（鸟头定理）。

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DA

BA ECDEBC 6

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14．三大蝴蝶： ⑴一线两等边。

E条件：△ABC、△ECD为等边三角形，B、C、D共线 则有：△BCE≌△ACD

△DCG≌△ECF △BCF≌△ACG

BAKFGCD 旋转60°形成的全等三角形！！！ ∴△CGF也是等边三角形。 还有：AB∥CE DE∥AC等结论成立！

∠AKB=60° CK平分∠BKD ∠BKC=60°=∠DKC K、F、C、G四点共圆。 ⑵一个三角形两等边（费马点：见课件）。 条件：以△ABC的两边AB、AC为边向外作

等边三角形ADB和等边三角形ACE 则有：△ADC≌△ABE（SAS）∴CD=BE

BNGCMDAE∠DGB=60°∠DGE=120° 又SVADC?SABE分别作高AM、AN，

则AM=AN（面积相等，底等，则高等）， ∴AG是∠DGE的平分线！ ∠DGA=∠EGA=60°

⑶一个三角形两个正方形。 条件：四边形GBAF和正方形ACDE

GFEA结论：FC=BE FC⊥BE AH是∠FHE的

HD 角平分线（∠FHA=∠EHA=45°）

BC A、F、B、F四点共圆。

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15．平行四边形的面积关系。平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一

般找平行于两轴的直线）的距离相等。 ①SVAED?AD1S平行四边形ABCD 2OBEC②平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一般找平行于两轴的直线）的距离相等。

16．平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和：AC2?BD2?AB2?BC2?CD2?DA2 17．矩形一边上任意一等到对角线距离的和 =

长?宽

对角线18．矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等。 如图：矩形ABCD内任意一点P，则有：

PA2?PC2?PB2?PD2

ADP19．矩形精典对折图。

如图：矩形ABCD沿对角线，BD对折，C点到了 E点，则一对全等（小直角三角形）一对相似，两 个等腰。例AE：BD=3：5则AB：BC=4：8=1：2 这是因为相似比为3：5，所以EF：FB=3：5， 因此ED=4（勾股）而AD=DF+FA=5+3=8！！

BCFADBC20．正方形垂等图。垂直?相等 横平竖直；改斜归正的辅助线方法。

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21．正方形三兄弟成面积图 = 中正方形之面积。 三个正方形，如图摆放：AN正好过E点。 技巧：AC∥EC∥FN（对角线平行：此题题眼） △ AGN的面积=△AGE的面积+△EGN的面积 △AGE的面积=△ECG的面积

△EGN的面积=△EGF的面积 ∴结论成立！ 22．两正方形垂直相等图。

如图，ABCD、CGFE是正方形： ① △DCG≌CBCE； ②BE⊥DG。

③BE=GD ④A、B、M、D四点共圆（双歪八）

ADEFMHNBCG条件：三个正方形，AN恰好过E点结论：三角形AGN的面积=正方形ECGF的面积AMDEMFB2CG ∠ADB＝∠AMB=∠AMD=45° △ADK∽△AMD（斜射影）AD?AK?AM

③若DM?ME?MA 则：BD=BG △BDG为等腰三角形。（∠GDC=∠DAM=∠DBM=∠MBG） 此时：MA=MB

④若MA=ME，也能推出③中的结论。

AED223，正方形内含半角（其中产生的两个双八字相似和

等腰直角三角形）——邻边相等的圆内接四边形

HGF内含半角图。

条件：正方形ABCD中，∠EBF=45° 结论：①EF=AE+FC

②△DEF的周长=正方形周长的一半。 ③∠DCA=∠EBF=45°∴B、C、F、H

BKC 四点共圆（双八字）！！∠BHF=90° ∴△BHF为等腰直角三角形！！！ ④同上：∠DAC=∠EBF=45°B、K、E、A四点共圆（双八字）， ∠BKE=90°△BKE为等腰直角三角形！

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24．正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图。

①正方形内含45°模型推广到圆内接四边形（对角互补的四边形），有一组邻边相

等，且相等的邻边的夹角内含半角。 条件：四边形ABCD中，BA=BC ∠ABC＋∠D＝90°∠EBF=?ABC

BDFCAE12结论：EF=AE+CF （其余根据已推导）

②等腰直角三角形内含45°

条件：等腰直角三角形ABC，∠FBE=45°

2? EF2?AFFAFCEC2 EBC③其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图。（根据上述模型类比解决：用三角比找到相关边的关系）。

25．正方形互补型（互补型）： ①对称中心有直角：OE=OF ②直角顶点在对角线上：PB=PQ （图①图②两种情况都成立）

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