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2019届湖南省郴州市高三第三次质量检测

数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1.已知集合A??0,1,2,3,4?,B?x|x2?2x?0，则A A. ?2,4? B. ?2,4? C. ?0,3,4? D. ?3,4? 2.设z?1?i,i为虚数单位，若复数

??B?

22?z在复平面内对于的向量为OZ，则向量OZ的模是 z A. 1 B. 2 C. 3 D.2

3.《算法统宗》是明代程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点被加增，共灯三百八十一”，其意思大致是：有一座七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则宝塔从上至下的第三层的红灯数使 A. 14 B. 12 C. 8 D. 10

4.运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是 A.

11 B.?3 C. 3 D.? 335.某地市高三理科所有学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩?服从正态分布N100,??2?，已知P?80???100??0.35，则按分层抽样的方式

取100分试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取 A. 5分 B. 10分 C. 15分 D. 20分

6.已知函数f?x??3sinx?3cosx，当x??0,??时，f?x??3的概率为 A.

1111 B. C. D. 32547.如图，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为

A1B1上任意一点，E,F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的

四个值中不为定值的是

A.点Q到平面PEF的距离 B.直线PE与平面QEF所成的角 C.三棱锥P?QEF的体积 D. 二面角P?EF?Q的大小

8.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

2，同时椭圆C2上存在一点与右焦点关于直线x?y?1?0对称，则椭圆C的方程为

8x216y29x216y2??1 B. ??1 A.99898x29y29x29y2??1 D. ??1 C. 9168169.已知函数f?x??cos??x??????0?,f??x?是f?x?的导函数，若f????0,f?????0，且

????,??在区间上没有最小值，则?取值范围是 ??2?? A. ?0,2? B. ?0,3? C.?2,3? D.?2,???

10. 如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量AP?mAP?nAD（m,n为实数），则m?n的取值范围是

??322?2?,2? A.?1?? B. ?,2?? 4444????,? C. ?,? D. ?1?4444????11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为

?39??29? A.

4141414?? B. ? C. 4? D. 484312.已知函数f?x?????log2?1?x??1,?1?x?k，若存在k使得函数

3??x?3x?2,k?x?af?x?的值域为?0,2?，则实数a的取值范围是

A. 1,3? B. ?0,1? C. ?0,1? D.?1,3?

????

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 .

14.已知?x???m?52x?1的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的系数为 . ???x?15.在直角三角形?ABC中，C??2,AC?3，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得

3MD?MB?2MA，则CD?CA? . 16.已知数列?an?的前n项和为Sn，对任意n?N，Sn???1?an??n1且?t?an?1??t?an??0恒?n?3，

2n成立，则实数t的取值范围为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）如图，在?ABC中，B?30,AC?5,D为AB边上的点，

（1）求?ABC面积的最大值；

（2）若CD?2,?ACD，的面积为2，?ACD为锐角，求BC的长.

18.（本题满分12分）

2017年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组?15,25?，第2组?25,35?，第3组?35,45?，第4组

?45,55?，第5组?55,65?，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求出频率分布直方图中的a值，并求出这200的平均年龄； （2）现在要从年龄较小的第1,2,3组用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率；

（3）若要从所有参与调查的人（人数很多）

中随机选出3人，记关注民生问题的人数为X，求X的分布列和数学期望.