内容发布更新时间 : 2025/1/1 21:23:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
内部文件，版权追溯 第四章 4.2 4.2.3 直线与圆的方程的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过 ( B )
A．1.4 m
B．3.5 m
C．3.6 m
D．2.0 m
[解析] 圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8， 所以弦心距OB＝3.6－0.8≈3.5(m)．
2
2
2．已知实数x、y满足x＋y－2x＋4y－20＝0，则x＋y的最小值是 ( A ) A．30－105 [解析]
B．5－5
C．5
D．25
2
2
2
2
x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所
2
以最小值为(5－5)＝30－105.
3．方程y＝－4－x对应的曲线是 ( A )
2
[解析] 由方程y＝－4－x得x＋y＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x＋y＝4在x轴上和以下的部分．
4．y＝|x|的图象和圆x＋y＝4所围成的较小的面积是 ( D ) π
A．
4
3π
B．
4
3π
C．
2
D．π
2
22
2
2
2
2
122
[解析] 数形结合，所求面积是圆x＋y＝4面积的.
4
5．方程1－x＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是 ( D )
1
2
A．k＝－2 B．k∈(－2，2) D．k＝2或－1≤k<1
2
2
C．k∈[－1,1)
[解析] 由题意知，直线y＝x＋k与半圆x＋y＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝2.
6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA、PB分别与圆x＋y＝4相切于A、B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于 ( C )
A．24
B．16
C．8
D．4
2
2
1222[解析] ∵四边形PAOB的面积S＝2×|PA|×|OA|＝2OP－OA＝2OP－4，∴当直
2线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，其面积S最小．
二、填空题
7．已知实数x、y满足x＋y＝1，则2
2
y＋23
的取值范围为__ [，＋∞) __. x＋14
2
2
[解析] 如右图所示，设P(x，y)是圆x＋y＝1上的点，则y＋2
表示过P(x，y)和Q(－x＋1
1，－2)两点的直线PQ的斜率，过点Q作圆的两条切线QA，QB，由图可知QB⊥x轴，kQB不存在，且kQP≥kQA.
设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)，由圆心到QA的距离为1，得3y＋23＝1，解得k＝.所以的取值范围是[，＋∞)．
4x＋14
8．已知M＝{(x，y)|y＝9－x，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数
2
|k－2|
k2＋1
b的取值范围是__ (－3,32]__.
[解析] 数形结合法，注意y＝9－x，y≠0等价于x＋y＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x＋y＝9在x轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b≤32时，直线y＝x＋b与半圆x＋y＝9(y＞0)有公共点．
2
2
2
2
2
2
2
2
三、解答题
9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离.
[解析] 以O为坐标原点，过OB、OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x＋y＝1，因为点B(8,0)、C(0,8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x88＋y＝8.
当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为
|0＋0－8|
－1＝(42－1)km. 2
2
2
xy10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01 m)
[解析] 如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A、B、P的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．
设圆拱所在的圆的方程是x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为A、B、P在此圆上，故有 18－18D＋F＝0??2
?18＋18D＋F＝0??62＋6E＋F＝0
2
2
2
D＝0??
，解得?E＝48
??F＝－324
2
2
.
故圆拱所在的圆的方程是x＋y＋48y－324＝0. 将点P2的横坐标x＝6代入上式，解得y＝－24＋126. 答：支柱A2P2的长约为126－24 m.
B级 素养提升
一、选择题
3