内容发布更新时间 : 2024/5/29 9:47:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
课时跟踪检测（八） 椭圆的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0) C．(0，±13)
B．(0，±10) D．(0，±69)
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．
2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) 1A．
2C．
3 4
B．
3 26 4
D．
解析：选A 依题意，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°， c11∴cos 60°＝a＝，即椭圆的离心率e＝，故选A．
22
x2y2x2y2x2y2y2
3．已知椭圆2＋2＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆2＋2＝1的短轴长与椭圆
ab2516ab21x2
＋＝1的短轴长相等，则( ) 9
A．a2＝25，b2＝16 B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25 D．a2＝25，b2＝9
x2y2y2x2
解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴
2516219长为6，所以a2＝25，b2＝9．
x2y2
4．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，
ab直线AB交y轴于点P．若AP＝2PB，则椭圆的离心率是( )
A．
3 2
B．
2 2
1C．
31D．
2
解析：选D ∵AP＝2PB，∴|AP|＝2|PB|．
又∵PO∥BF，∴即
|PA||AO|2
＝＝， |AB||AF|3
ac12
＝，∴e＝＝．
a2a＋c3
5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m B．(±m－n，0) D．(±n－m，0) x2y2 解析：选C 化为标准方程是＋＝1， －n－m∵m ∴焦点在y轴上，且c＝－m－?－n?＝n－m． x2y21 6．椭圆＋m＝1的离心率为，则m＝________． 42解析：当焦点在x轴上时，当焦点在y轴上时，综上，m＝3或m＝答案：3或 16 3 5 ， 且过P(－5,4)，则椭圆的方5 4－m1 ＝?m＝3； 22 m－4116＝?m＝． 23m 16 ． 3 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为程为________________． c5解析：∵e＝＝， a5 22 c2a－b1∴2＝2＝， aa5 ∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2． x25y2 设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>0)， a4a∵椭圆过点P(－5,4)，∴ 2 255×16＋＝1． a24a2x2y2 解得a＝45．∴椭圆方程为＋＝1． 4536x2y2 答案：＋＝1 4536 x22 8．设F1，F2分别为椭圆＋y＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A＝5F2B， 3则点A的坐标是________． 解析：设A(m，n)． ?m＋62n?． 由F1A＝5F2B，得B?? ?5，5? ?? 又A，B均在椭圆上，所以有??m＋6 ?5???3 ???m＝0，?m＝0， 解得?或? ?n＝1???n＝－1， m2 ＋n2＝1，3 2?2 ??n?2＋??5?＝1， 所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)． 答案：(0,1)或(0，－1) 9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 2 ，2 过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程． x2y2 解：设椭圆C的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)． ab a2－b21b21c212c2 由e＝知a＝，故2＝，从而2＝，2＝．由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2| 22a2a2a2＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8． x2y2 故椭圆C的标准方程为＋＝1． 168 x2y2 10．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存有一点P，使∠APO＝90°，求椭圆 ab离心率的取值范围． ax－?2＋解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是??2?a?2 y2＝??2?． ∴y2＝ax－x2．① x2y2 又P点在椭圆上，故2＋2＝1．② ab 把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即 (x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0， ab2 ∴x＝2，又0 a－b2ab222 ∴0<22 2 ． 2