内容发布更新时间 : 2025/1/26 5:56:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第3讲 函数的奇偶性与周期性

最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

知 识 梳 理

1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－图象特点 关于y轴对称 x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－奇函数 x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．

(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 3．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

诊 断 自 测

1

．

判

断

正

误

(

在

括

号

内

打

“√”

或

“×”)

精彩PPT展示

(1)函数y＝x，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)

(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)

(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)

(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)

2．(2014·广东卷)下列函数为奇函数的是( ) 1xA.y＝2－x 2C．y＝2cos x＋1

B．y＝xsin x D．y＝x＋2

23

2

x1x32x解析 易知y＝2－x是奇函数，y＝xsin x和y＝2cos x＋1是偶函数，y＝x＋2是非

2奇非偶函数，故选A.

答案 A

3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )

A．f(x)g(x)是偶函数 函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数 函数

解析 依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－

D．|f(x)g(x)|是奇B．|f(x)|g(x)是奇

x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|

＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；

|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|， |f(x)g(x)|是偶函数，D错． 答案 C

4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x，则

2

f(2 015)等于( )

A．－2 C．－98

解析 ∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数，

∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)为奇函数，

∴f(－1)＝－f(1)＝－2×1＝－2， 即f(2 015)＝－2. 答案 A

5．(人教A必修1P39A6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________.

解析 当x＜0时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)． 答案 x(1－x)

2

B．2 D．98

考点一 函数奇偶性的判断