周益春-材料固体力学课后习题解答 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:58:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章

习题1 证明e??恒等式eijkeist??js?kt??ks?jt [证明] 习题2 证明若[证明]

?aij?aji;bij??bji?aijbij??ajibji,?aijbij?ajibji?aijbij?apqbpq?0 又因为所有的指标都是哑指标,apqbpq?aijbij,所以2aijbij?0,即aijbij?0

习题3 已知某一点的应力分量?xx,?yy,?zz,?xy不为零,而?xz??yz?0,试求过该点和z轴,与x轴夹角为?的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1,过该点和z轴,与x轴夹角为?的面的法线,其与x轴,y轴和z轴的方向余弦分别为cosα,sinα,0,则由斜面应力公式的分量表达式,?(?)j??i?ij,可求得该面上的应力为 由斜面正应力表达式?n??ij?i?j,可求得正应力为

?n??xxcos2??2?xycos?sin???yysin2???

qoy,则aijbij?0

剪应力为

习题4 如已知物体的表面由f(x,y,z)?0确定,沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷p?x,y,z?。试写出其边界条件。 [解] 物体表面外表面法线的方向余弦为 带入应力边界条件,Ti??ijnj,?i,j?1,2,3?,得

yz习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为?xx,?yy,?zz,?xy,?xz,?表示的应力分量。

[解] 如图1.2,两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示:

r θ z x cosθ -sinθ 0 y sinθ cosθ 0 z 0 0 1 注意 ,试求该点以柱坐标

由应力分量转换公式?m'n'??ij?m'i?jn',求得 利用三角公式可将上面的式子改写为 习题6 一点的应力状态由应力张量??ij?求常数a,b,c,以使八面体面n?13a??????a???b?c??b???c??给定,式中,a,b,c为常数,?是某应力值,???(e1?e2?e3)上的应力张量为零

[解] 由斜面应力公式的分量表达式,?(?)j??i?ij,知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组:

解得a?b?c??1 2习题7 证明(1)应力的三个主方向互相垂直;(2)三个主应力?1,?2,?3必为实根 [证明]

(1)设任意两个不同的主应力为?k、?l,对应的主方向为nk、nl。根据主应力定义有:

σ(k)?nk?σ??knk, σ(l)?nl?σ??knl

将以上两式分别点乘nk和nl再相减,得

σ是对称应力张量,上式可改写为

所以应力的三个主方向互相垂直

(2)设任意两个不同的主应力为?k、?l,对应的主方向为nk(l1,m1,n1)、nl(l2,m2,n2) 若?1为复数,则?2为其共轭复数,从而方向余弦nk(l1,m1,n1)、nl(l2,m2,n2)互为共轭 ?l1l2?m1m2?n1n2?0 与主方向相互垂直矛盾

所以三个主应力必为实数

习题8 证明球形应力张量?mΙ在任意斜面上的剪应力为零,且正应力为?m

[证明] 球形应力张量?mΙ??me1e1??me2e2??me3e3,设任意斜面的方向余弦为n?l,m,n? 由斜面应力公式 σ(n)?σ?n,得σ(n)?l?me1?m?me2?n?me3 由斜面正应力公式 σn?σ(n)?n,得σn?(l2?m2?n2)?m??m 由斜面剪应力公式,得??σ(n)?σn?σ(n)习题9 求应力偏量张量的不变量

1[解] 应力张量σ可分解为球形应力张量?mΙ和应力偏量张量S,(?m?(?11??22??33))

32222??n?(l2?m2?n2)?m??m?0

应力偏量张量S?(Sij)?(?ij??ij?m),其主应力方程为n?S?Snn,即ni(Sij?Sn?ij)?0S11?SnS12S22?SnS32S13S23S33?Sn(j?1,2,3)

上述方程存在非零解ni的必要条件是系数行列式为零,即S21S3132?Sn?Sn?J3??0 ?J1?J2得到关于Sn的三次代数方程,Sn?0

?,J2?和J3?分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量 其中J1设S1,S2和S3为应力偏量张量的三个主值?Si??i??m?,则

习题11 设Φrs为二阶对称张量,证明由?ij?eipqejmn?qn,pm导出的应力一定满足无体力的平衡方程 [证明] ??ij,j?eipqejmn?qn,pmj 又?ejm,j关于m,j反对称,?qn,pmj关于m,j对称

??ij,j?eipqejmn?qn,pmj?0,即?ij?eipqejmn?qn,pm满足无体力的平衡方程,?ij,j?0-忽略体力下的平衡

微分方程

习题12 已知直角坐标系中各点的应力张量??ij??3x1x2?2??5x2??0?25x202x30??2x3?,试求体积力分量

?0??[解] 根据平衡微分方程?ij,j?Fi?0,?i,j?1,2,3?,得 对谁偏导的问题

得体积力分量为

习题13 如图1.3所示的三角形截面水坝,材料的比重为?,承受着比重为?1液体的压力,已求得应力??xx?ax?by??解为?yy?cx?dy??y?,试根据直边及斜边上的表面条件确定系数a,b,c和d

?xy??dx?ay???[解] 如图所示,建立平面直角坐标系

水坝左侧表面法线的方向余弦为n?cos?,?sin??,受外力Px?0,Py??y的作用 根据应力边界条件,Pi??ijnj,12?i,j?1,2,3?,在x?ytg?处

水坝右侧表面法线的方向余弦为n??1,0?,受外力Px??1y,Py?0的作用 根据应力边界条件,Pi??ijnj,?i,j?1,2,3?,在y处

?1tg2?由上述两个方程组,得a?0,b???1,c??ctg??2?1ctg2?,d? 外力是如何确定的

习题14 如图1.4所示的三角形截面水坝,其左侧作用着比重为?的液体,右侧为自由表面,试写出以应力分量表示的边界条件。

[解] 如图所示,建立平面直角坐标系

水坝左侧表面法线的方向余弦为n??cos?,?sin??,受外力Px??ycos?,Py??ysina的作用 根据应力边界条件,Pi??ijnj,12?i,j?1,2,3?,在x?ytg?处

水坝右侧表面法线的方向余弦为n??cos?,sin??,受外力Px?Py?0的作用 根据应力边界条件,Pi??ijnj,?i,j?1,2,3?,在x?yth?处

第二章

习题1 初始时刻位于?a1,a2,a3?的质点在某时刻t的位置为x1?a1?ka3;k?10?5,求格林应变张量的分量。

[解] 采用拉格朗日描述法,ui?xi?ai?ui(a1,a2,a3),得

x2?a2?ka3;x3?a3,其中

由格林应变张量,E?Eijeiej,Eij?1ui,j?uj,i?um,ium,j,得 2??习题2 证明?ij是二阶对称张量的分量,而?ij不是任何张量的分量。 [证明]

1ui,j?uj,i,显然可得其对称性 2对于笛卡尔直角坐标系oxyz和ox?y?z?,各坐标轴之间的方向余弦如下表

(1) ?ij??? 由弹性力学理论知,?i?j???i?i?j?j?ij,恰与张量定义相吻合,

?

是二阶对称张量的分量

(2)设有一剪应变张量γ,其分量?ij?2?ij??ij?ij??2??ij??ij 取任一矢量nk?nkek,则

eiej?ek??jkem,但2??ij?ijnk?jk不能缩并为?m,与假设γ是张量矛盾。

??根据张量的商判则,?ij不是任何张量的分量。

习题3 为求平面应变分量?x、?y、?xy,将电阻应变片分别贴在x方向,与x成60?和120?方向上,测得应变值以?0、?60、?120表示,试求?x、?y、?xy

[解] 平面应变状态下,沿x方向,与x成60?和120?方向上的方向余弦分别为1313v1(1,0);v2(,);v3(?,)

2222根据v方向线元的工程正应变公式,?v??ijvivj,得

求得

习题4 假设体积不可压缩位移u1(x1,x2)与u2(x1,x2)很小,u3?0,在一定区域内已知

22u1?1?x2a?bx1?cx1,其中a,b,c为常数,求u2?x1,x2?。

????[解] 题目条件适用小变形,?ij?1ui?uj,i,得 2,j?u22?x2?1?b?2cx1? ?x2??? 体积不可压缩,??ii??11??22??33?0 ??22?x??22?x2???x20?x20?? 即u2??x2?22dx2??b?2cx1???x220??1??3??1??3????习题5 在平面应变状态下,使用直角坐标和极坐标中应变分量、位移分量的转换公式,写出在极坐标中的应变和位移的关系式。

[解] 在平面应变状态下,由应变分量转换公式,?i?j???i?i?j?j?ij,得

?rr????r?代入?ij?1ui,j?uj,i,即 2???xxcos???yysin???xysin2????22??xxsin???yycos???xysin2?? (1)

??yy?xx??sin2??sin2???xycos2???22?22???xx?yy?xy?u?u?r?u????x?r?x???u?u?r?u????y?r?y???????? (2) ?1??u?v?1??u?r?u???v?r?v??????????2???r?y????y??r?y????y???2??y?y?????????x???y?u?u?ur?u?u?????r?ur?r?u??r???u?v?v?ur?v??????r?ur?r?u??r?? (3)

?u?u?ur?u?u???????ur???u??????v?v?ur?v?u???????ur???u?????u?urcos??u?sin??? (4)

v?urcsin??u?cos??因此,

?u?u??cos?,??sin???ur?u??? (5)

?v?v?sin?,?cos????ur?u???r??22???x?y??cos???x?x??r??22???x?y??sin???y?y???????? (6) y?????1??arctg???sin????x?x?x?r?y?1??????arctg??cos????y?y?x?r?将式(2)-(6)代入式(1),得平面应变状态下,极坐标中的应变和位移的关系式: 习题7 证明由下式确定的应变?ij?[证明] ??ij?1ui,j?uj,i 21ui,j?uj,i恒满足变形协调方程,emjkenil?ij,kl?0。 2????对于单值连续位移场,并存在三阶以上连续偏导数时,偏导数的值与求导顺序无关

?ui,jkl关于j,k对称;uj,ikl关于i,l对称

对于排列符号

emjk关于j,k反对称;enil关于i,l反对称

1ui,j?uj,i恒满足变形协调方程,emjkenil?ij,kl?0 2习题8 假定物体被加热至定常温度场T?x1,x2,x3?时,应变分量为?11??22??33??T;?12??31??32?0,

即应变?ij???其中?为线膨胀系数,试根据应变协调方程确定温度场T的函数形式。