内容发布更新时间 : 2024/5/4 10:30:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章

习题1 证明e??恒等式eijkeist??js?kt??ks?jt [证明] 习题2 证明若[证明]

?aij?aji;bij??bji?aijbij??ajibji，?aijbij?ajibji?aijbij?apqbpq?0 又因为所有的指标都是哑指标，apqbpq?aijbij，所以2aijbij?0，即aijbij?0

习题3 已知某一点的应力分量?xx，?yy，?zz，?xy不为零，而?xz??yz?0，试求过该点和z轴，与x轴夹角为?的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1，过该点和z轴，与x轴夹角为?的面的法线，其与x轴，y轴和z轴的方向余弦分别为cosα，sinα，0，则由斜面应力公式的分量表达式，?(?)j??i?ij，可求得该面上的应力为 由斜面正应力表达式?n??ij?i?j，可求得正应力为

?n??xxcos2??2?xycos?sin???yysin2?？？

qoy，则aijbij?0

剪应力为

习题4 如已知物体的表面由f(x,y,z)?0确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷p?x,y,z?。试写出其边界条件。 [解] 物体表面外表面法线的方向余弦为 带入应力边界条件，Ti??ijnj,?i,j?1,2,3?，得

yz习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为?xx，?yy，?zz，?xy，?xz，?表示的应力分量。

[解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：

r θ z x cosθ -sinθ 0 y sinθ cosθ 0 z 0 0 1 注意 ，试求该点以柱坐标

由应力分量转换公式?m'n'??ij?m'i?jn'，求得 利用三角公式可将上面的式子改写为 习题6 一点的应力状态由应力张量??ij?求常数a，b，c，以使八面体面n?13a??????a???b?c??b???c??给定，式中，a，b，c为常数，?是某应力值，???(e1?e2?e3)上的应力张量为零

[解] 由斜面应力公式的分量表达式，?(?)j??i?ij，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：

解得a?b?c??1 2习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力?1，?2，?3必为实根 [证明]

（1）设任意两个不同的主应力为?k、?l，对应的主方向为nk、nl。根据主应力定义有：

σ(k)?nk?σ??knk， σ(l)?nl?σ??knl

将以上两式分别点乘nk和nl再相减，得

σ是对称应力张量，上式可改写为

所以应力的三个主方向互相垂直

（2）设任意两个不同的主应力为?k、?l，对应的主方向为nk(l1,m1,n1)、nl(l2,m2,n2) 若?1为复数，则?2为其共轭复数，从而方向余弦nk(l1,m1,n1)、nl(l2,m2,n2)互为共轭 ?l1l2?m1m2?n1n2?0 与主方向相互垂直矛盾

所以三个主应力必为实数

习题8 证明球形应力张量?mΙ在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为?m

[证明] 球形应力张量?mΙ??me1e1??me2e2??me3e3，设任意斜面的方向余弦为n?l,m,n? 由斜面应力公式 σ(n)?σ?n，得σ(n)?l?me1?m?me2?n?me3 由斜面正应力公式 σn?σ(n)?n，得σn?(l2?m2?n2)?m??m 由斜面剪应力公式，得??σ(n)?σn?σ(n)习题9 求应力偏量张量的不变量

1[解] 应力张量σ可分解为球形应力张量?mΙ和应力偏量张量S，(?m?(?11??22??33))

32222??n?(l2?m2?n2)?m??m?0

应力偏量张量S?(Sij)?(?ij??ij?m)，其主应力方程为n?S?Snn，即ni(Sij?Sn?ij)?0S11?SnS12S22?SnS32S13S23S33?Sn(j?1,2,3)

上述方程存在非零解ni的必要条件是系数行列式为零，即S21S3132?Sn?Sn?J3??0 ?J1?J2得到关于Sn的三次代数方程，Sn?0

?，J2?和J3?分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量 其中J1设S1，S2和S3为应力偏量张量的三个主值?Si??i??m?，则

习题11 设Φrs为二阶对称张量，证明由?ij?eipqejmn?qn,pm导出的应力一定满足无体力的平衡方程 [证明] ??ij,j?eipqejmn?qn,pmj 又?ejm,j关于m，j反对称，?qn,pmj关于m，j对称

??ij,j?eipqejmn?qn,pmj?0，即?ij?eipqejmn?qn,pm满足无体力的平衡方程，?ij,j?0－忽略体力下的平衡

微分方程

习题12 已知直角坐标系中各点的应力张量??ij??3x1x2?2??5x2??0?25x202x30??2x3?，试求体积力分量

?0??[解] 根据平衡微分方程?ij,j?Fi?0,?i,j?1,2,3?，得 对谁偏导的问题

得体积力分量为

习题13 如图1.3所示的三角形截面水坝，材料的比重为?，承受着比重为?1液体的压力，已求得应力??xx?ax?by??解为?yy?cx?dy??y?，试根据直边及斜边上的表面条件确定系数a,b,c和d

?xy??dx?ay???[解] 如图所示，建立平面直角坐标系

水坝左侧表面法线的方向余弦为n?cos?,?sin??，受外力Px?0,Py??y的作用 根据应力边界条件，Pi??ijnj,12?i,j?1,2,3?，在x?ytg?处

水坝右侧表面法线的方向余弦为n??1,0?，受外力Px??1y,Py?0的作用 根据应力边界条件，Pi??ijnj,?i,j?1,2,3?，在y处

?1tg2?由上述两个方程组，得a?0,b???1,c??ctg??2?1ctg2?,d? 外力是如何确定的

习题14 如图1.4所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为?的液体，右侧为自由表面，试写出以应力分量表示的边界条件。

[解] 如图所示，建立平面直角坐标系

水坝左侧表面法线的方向余弦为n??cos?,?sin??，受外力Px??ycos?,Py??ysina的作用 根据应力边界条件，Pi??ijnj,12?i,j?1,2,3?，在x?ytg?处

水坝右侧表面法线的方向余弦为n??cos?,sin??，受外力Px?Py?0的作用 根据应力边界条件，Pi??ijnj,?i,j?1,2,3?，在x?yth?处

第二章

习题1 初始时刻位于?a1,a2,a3?的质点在某时刻t的位置为x1?a1?ka3;k?10?5，求格林应变张量的分量。

[解] 采用拉格朗日描述法，ui?xi?ai?ui(a1,a2,a3)，得

x2?a2?ka3;x3?a3，其中

由格林应变张量，E?Eijeiej，Eij?1ui,j?uj,i?um,ium,j，得 2??习题2 证明?ij是二阶对称张量的分量，而?ij不是任何张量的分量。 [证明]

1ui,j?uj,i，显然可得其对称性 2对于笛卡尔直角坐标系oxyz和ox?y?z?，各坐标轴之间的方向余弦如下表

（1） ?ij??? 由弹性力学理论知，?i?j???i?i?j?j?ij，恰与张量定义相吻合，

?

是二阶对称张量的分量

（2）设有一剪应变张量γ，其分量?ij?2?ij??ij?ij??2??ij??ij 取任一矢量nk?nkek，则

eiej?ek??jkem，但2??ij?ijnk?jk不能缩并为?m，与假设γ是张量矛盾。

??根据张量的商判则，?ij不是任何张量的分量。

习题3 为求平面应变分量?x、?y、?xy，将电阻应变片分别贴在x方向，与x成60?和120?方向上，测得应变值以?0、?60、?120表示，试求?x、?y、?xy

[解] 平面应变状态下，沿x方向，与x成60?和120?方向上的方向余弦分别为1313v1(1,0);v2(,);v3(?,)

2222根据v方向线元的工程正应变公式，?v??ijvivj，得

求得

习题4 假设体积不可压缩位移u1(x1,x2)与u2(x1,x2)很小，u3?0，在一定区域内已知

22u1?1?x2a?bx1?cx1，其中a，b，c为常数，求u2?x1,x2?。

????[解] 题目条件适用小变形，?ij?1ui?uj,i，得 2,j?u22?x2?1?b?2cx1? ?x2??? 体积不可压缩，??ii??11??22??33?0 ??22?x??22?x2???x20?x20?? 即u2??x2?22dx2??b?2cx1???x220??1??3??1??3????习题5 在平面应变状态下，使用直角坐标和极坐标中应变分量、位移分量的转换公式，写出在极坐标中的应变和位移的关系式。

[解] 在平面应变状态下，由应变分量转换公式，?i?j???i?i?j?j?ij，得

?rr????r?代入?ij?1ui,j?uj,i，即 2???xxcos???yysin???xysin2????22??xxsin???yycos???xysin2?? （1）

??yy?xx??sin2??sin2???xycos2???22?22???xx?yy?xy?u?u?r?u????x?r?x???u?u?r?u????y?r?y???????? （2） ?1??u?v?1??u?r?u???v?r?v??????????2???r?y????y??r?y????y???2??y?y?????????x???y?u?u?ur?u?u?????r?ur?r?u??r???u?v?v?ur?v??????r?ur?r?u??r?? （3）

?u?u?ur?u?u???????ur???u??????v?v?ur?v?u???????ur???u?????u?urcos??u?sin??? （4）

v?urcsin??u?cos??因此，

?u?u??cos?,??sin???ur?u??? （5）

?v?v?sin?,?cos????ur?u???r??22???x?y??cos???x?x??r??22???x?y??sin???y?y???????? （6） y?????1??arctg???sin????x?x?x?r?y?1??????arctg??cos????y?y?x?r?将式（2）-（6）代入式（1），得平面应变状态下，极坐标中的应变和位移的关系式： 习题7 证明由下式确定的应变?ij?[证明] ??ij?1ui,j?uj,i 21ui,j?uj,i恒满足变形协调方程，emjkenil?ij,kl?0。 2????对于单值连续位移场，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导数的值与求导顺序无关

?ui,jkl关于j，k对称；uj,ikl关于i，l对称

对于排列符号

emjk关于j，k反对称；enil关于i，l反对称

1ui,j?uj,i恒满足变形协调方程，emjkenil?ij,kl?0 2习题8 假定物体被加热至定常温度场T?x1,x2,x3?时，应变分量为?11??22??33??T；?12??31??32?0，

即应变?ij???其中?为线膨胀系数，试根据应变协调方程确定温度场T的函数形式。