内容发布更新时间 : 2024/12/23 19:51:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

习题10、试用李兹法求如图所示的一端固定、一端自由的压杆临界载荷Pcr，设该压杆的长度为l，

xPP图3-5 抗弯刚度为EI（常数），其挠度曲线为w?a1?1?cos???x??。 2l?解：挠度曲线为w?a1?1?cos???x??可以满足所要求的边界条件，压杆失稳后的弯曲应变能为 2l?EI?d2w?EI2?????U?dx?a1??2???02?dx?2?2l?l24EI2????cosdx?a1??外力功?V?Pd，其中d为失稳后?02l2?2l?4l2?x3由弯曲引起压杆顶端处向下的竖直位移：

EI2????Pa12????势能为：??U?V?a1?????。

2?2l?42?2l?43??2EI?????????????EIa1???Pa1???0?a1??P应用李兹法有?4l2??0， ?a1242l4??????如果a1?0，此方程虽然是满足了，但是这表示该压杆保持直的，根本没有失稳，所以a1?0。由此得：

3P?Pcr??2EI4l2?2.4674EI， l2此结果正好是精确解，这是因为所设的挠度曲线正好是失稳后的真实挠度曲线。

习题11、已知如图所示的半无限弹性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用，试用位移法求位移及应力分量。 解：

一、求位移函数u,w

用位移法求解时，须求出满足边界条件及满足以位移分量表示的平衡方程组：

P0rzRrM z图3-6 1?e1?2?1?r??2u?u??er2?0,?? 其中 1?2??z??2w?0??e???uu?wr?????z??r?r??z， ?21??2?2??r2?r?r??z2。

可以找到满足平衡方程组的两组特解：

u?Arz?1R3?? w?A?z21?? 1??R3?(3?4?)R?????u?Ar?2R?R?z???? w?A1 2R???上述两组特解的线性组合可作为通解：

u?Arz1R3?Ar?2R?R?z???2 w?A?z1?1?1??R3?(3?4?)R??A2R????其中A1和A2由边界条件来确定,将其代入由位移表示的应力得：a） b） （c） （ （

?2A2E??z3zr2?z3???2?r???z?r???A1??1?2??3?5??2??2?1????R?RR?R?R?z??????A2?E?z???A1?1?2??3?????1???RR?zR???? （d）

E??3z3z?z???z???A1?5??1?2??3??A23??1????RR?R??2????E3rzrr??rz???A1?5??1?2??3??A23??1????RR?R??在边界上（z=0面），除外力作用点外，?z?0,?rz?0，前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得：

?1?2??A1?A2?0 （e）

另外假想过M点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z向平衡条件得：

??0?z?2?rdr??P?0 （f）

将（d）中的?z代入（f）得

P??rdr?2?EA1?3?rdr2?EA2z?rdr??3z?1?2?z??0，积分此式得： 53?3????0001???1??RR?RP?2?E?2?1?2??A1?A2??0 （g） 1??由式(e)、(g)解得

A1??1???P （h） P?1???,A2???1?2??2?E2?E?1???P?rz??1?2???3??r,??2?E?RR?R?z???? （I）

?1???P?2?1???z3??w??3???2?E?RR??将A1，A2代入（c）式得位移函数为：

u?二、求应力分量

将A1、A2代回(d)，可得应力分量的计算公式：

P?1?2?3zr2???r??5?,??2??R?R?z)?R????Pz1?1?2???????,???32?R?R?z????R? （j）

3P3z??z?,?2?R5?P3rz2??rz??.5?2?R?三、讨论：

1）以上所得应力和位移，当R增大时应力、应变值迅速减小，即带有局部性质。

2）当R?0时，各应力分量都趣于无限大，这是因为假设外力集中作用在一点的缘故，实际上载荷不可能加在一个几何点上，而是分布在一个小面积上，因此实际应力不会是无限大而是相当大甚至已进入塑性阶段。根据圣维南原理，只要稍离集中力作用点，以上的应力与位移公式仍可认为是正确的。

3）由(j)式可见，当z=0时，在弹性半空间的边界面上有

?z?0,?rz?0??1?2?P1?2?P? （k）

?r??????2R2?r22???这说明，边界面上各点受到纯剪切作用。

4）当r=0，R=z时，即在z轴上的各点，由(j)式可得(l)式。这说明在z轴上各点受到两向拉伸、一向压缩，它的主应力为（m）式，以绝对值来比较，?z??3比径向及周向应力?1,?2大得多。

以上结果是研究接触问题的基础。

P1?2??,2?2z2?P1?2?????,?22?2z? （l） P3??z??,2?z2???rz?0.??r?

?1??2?P1?2??2?2z2? （m）

?P3?3??,?22?z?习题12、试用应力函数??C1zlnr?C2r?z?2122??C3zln?r?r22?z?z122122???z?z求解第11题中半无限弹

性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用时的位移及应力分量，并求水平边界面上任意一点的沉陷。

解：半无限弹性体的界面上承受垂直于界面的集中力P的作用是一个空间轴对称问题，所有的物理分量都只是r和z的函数，与?无关。将上述应力函数?代入如下求应力分量的公式：

??2?2????r??????2?,????z??r????1??????????2???,?z?r?r???? (a) 2?????2???z??2?????2?,????z??z?????2???2??1??????2??rz?????r??z????21??2?2 (b) 其中 ??2??rr?r?z2C1??2C2?4C3?z?8C3?2C2?zr4??C2?4C3?z3r2?2C3z5?r?2??35r2222222r?zrr?z??2C2?4C3?zC1?C2?4C3?zr2?2C3z3?????2?,33rr2?z22r2r2?z22得

?2???z?2C2?4C3??3C2?8C3?zr2?2C3z3?z???,35r2?z22r2?z22?1???r?2C2?4C3??2C2?2C3?rz2??C2?4C3?r3?rz???35222222r?zr?z?????????????????,??????? （c） ???????在边界上（z=0面），除外力作用点外，?z?0,?rz?0，前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得：

?rz???1????2C2?4C3??C2?4C3r2?0 （d）

另外假想过M点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z向平衡条

件得：

?P?0?z?2?rdr??P?0 （e）

将（c）中的?z代入（e）式并积分得

??4?1???C2?4?2??1?C3?0 （f）

式(d)中r为任意值，故只有分子为零，即

?1?2??C2?4?C3?0 (g)

由式(f)、(g) 解得C2和C3，C3??1?2??P,C4?2??P??

将C2和C3代入式(d)得?z,?rz。然后利用虎克定律求出??，根据???0求出C1。得应力分量为

15??1P?z22?2?222?2??r???1?2???2?2r?z?,???3rzr?z2??rr????13??1P?z22?2?22?2??????1?2????2?2r?z?,???zr?z?2??rr???? （h） 5?3P322?2?z??zr?z,?2??53P222?2??rz??rzr?z,?2??????????????将（h）式 代入以应力分量表示的位移公式求出位移为

利用上述位移公式求出水平边界面上任意一点的沉陷为

??wz?0?1???P。 ?2?Er