内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:53:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
又据上下边界中对x为任意值有?xyy??h2?0得
32?Ah?Bh?C?0?4?Ah42Bh32hh???3H?2K?L?0?2163842 （b） ?32?Ah?Bh?C?04?4?Ah2Bh3h2h??3H?2K?L?0?42?21638将（b）中的第1式加、减第3式得
32Ah?2C?0,B?0 （c） 2将（b）中的第3式加、减第4式得
Ah4h2?6H?2L?0 （d） 1644Bh3?2Kh?0 （e） 383q2q,A??3 2lhlhq由（e）式得 K=0。由（a）式中的第1式得D??
2l由（a）式中的第2式和（c）式得 C?ql?R?R??2?12，其中q?x???qx，解此方程得R1和R2： 根据外力平衡得?ll??xq?x?dx?R2l?0在x=0的端面内据?R1??h2h?2?xydy??h2h?2?qy4?ql2????3Hy?Ldy?得 ?lh3?6??Hh3qlqh2?Lh??? （f） 4680l由第（d）式和第（f）式得H???h2h?2h2h?2ql?qhql?q?3?,L??。
80l4h?10lh3h?由
??xx?0dy?0??h2h?2?6Ey?2F?dy?0?F?0，
由
??xx?0ydy?0??6Ey3dy?0?E?0。
h2h?2???2qx3y?4qy3qy??x??lh3?x???lh3?2lh???综上得： ???2qxy33qyxqx?y??3??， ?222lh42lh2l??xy?3qyxlh3?3qx4lh?qylh3???3q?10lh?ql?h3?y2?ql?ql??80l4hx3?2qy33qyq??qy5qy3应力函数为??6??qly3qhyqly????lh3?2lh?2l????x???5lh3?10lh?3h3?80l?4h??。 习题3、已知载荷分布如图所示，即 当周期分别为
（1）L?l，如图4-3（b）所示。
（2） L?2l，如图4-3（d）所示，且取x的偶函数。 （3） L?2l，如图4-3（e）所示，且取x的奇函数。
qoxyq(a)q(d)q(b)P-q-q(e)(c)图4-3
试用傅氏级数写出q?x?的表达式，并写出集中载荷情况下的表达式。
解：（1）周期为L?l，如图4-3（b）所示。首先将y轴平移d，于是在新坐标系中，
?0,当?l?x*???qx*??q,当?2??c?c?x*?c，将
q?x*?按傅立叶级数展??l?0,当c?x*?2???A?0?2n?x*2n?x*q?x?2???Ancos?Bnsin?n?1??ll?? 开成
l222n?x***dx （n=0，1，2，…） 其中 An??lqxcosl?2l??222n?x***Bn??lqxsindx （n=1，2，…）
?l2ll??2c4qc*于是 A0??qdx?，
l?cl2c2n?x**2q2n?cAn??qcosdx?sin，
l?cln?l2c2n?x**Bn??qsindx?0。
?cll2qc2q?12n?c2n?x**?qx??sincos，x?x?d ?l?n?1nll???如图4-3（c）所示，令P?2qc，且当c?0时，即为集中载荷的情形，那么 （2）设L?2l，如图4-3（d）所示，且取x的偶函数。 对原来的载荷q?x?进行偶性延拓后按傅立叶级数展开成：
?A0n?xn?x??q?x?????Ancos?Bnsin?，
2n?1?ll?2ln?x??， qxcosdx （n=0，1，2，…）?0ll1ln?x而 Bn??q?x?sindx?0 （n=1，2，…）
l?ll2d?c4qc2d?cn?x4qn?dn?c于是A0??qdx?，An??qcos， dx?cossinld?clld?cln?ll其中 An?令P?2qc，且当c?0时，即为集中载荷的情形，那么 （3）设L?2l，如图4-3（e）所示，且取x的奇函数。 对原来的载荷q?x?进行奇性延拓后按傅立叶级数展开成：
?A0n?xn?x??q?x?????Ancos?Bnsin?，
2n?1?ll?1ln?x??qxcosdx?0 （n=0，1，2，…）， ??lll2ln?x而 Bn??q?x?sindx?0 （n=1，2，…）
l0l2d?cn?x4qn?dn?cdx?sinsin于是， Bn??qsin，
ld?cln?ll其中 An??q?x??那么
4q1n?cn?dn?xsinsinsin，令P?2qc，且当c?0时，即为集中载荷的情形，??n?1nlll?2P?n?dn?xq?x??sinsin。 ?ln?1ll习题4、连续板墙的中间一段如图所示，试用三角函数形式的应力函数求其应力分量。
yoPPx图4-4
解：先将y轴平移l，得新坐标系XoY，在新坐标系XoY下将边界载荷化为三角函数形式的q?X?，周期为2L,其中L??l?c?。
在连续板墙的上边界，即Y=h处，利用第3题中的（2）得两处集中载荷P作用下的q?X?
?P?n?ln?X?q?X???1?2?coscos? （a）
L?LLn?1?在连续板墙的下边界，即Y=0处，在两处分布载荷q作用下：
A0??n?Xn?Xq?X?????Ancos?Bnsin2n?1?LL其中 An???， ?2Ln?X??， qXcosdX （n=0，1，2，…）?0LL1Ln?XdX?0 （n=1，2，…） 而 Bn??q?X?sin?LLLL2?L?c4qc于是 A0??， ???LqdX??L?cqdX?????LL2?L?cn?X2Ln?X4qn?cAn??qcosdX??qcosdX?cosn?sin，
L?LLLL?cLn?L2qc?2L?1n?cn?X??q?X??1?sincosn?cos??，
L??cnLLn?1??其中据外力平衡得P?2qc。
nP?2L???1?n?cn?X??q?X???1?sincos? （b） ?L??cn?1nLL?设三角级数式的应力函数和相应的应力分量为
这些应力分量是满足平衡微分方程和协调方程的。现在利用边界条件确定待定常数
'''''。 ?m、Am、Bm、Cm、Dm、?m、Am、Bm、Cm、Dm（1）由于板墙的几何形状及所受载荷均对称与YoZ平面，有
?XX??X???XX?X?,?YY??X???YY?X?,?XY??X????XY?X?对任何Y值都成立，于是
Am?Bm?Cm?Dm?0。所以应力函数为
其中?m?'m?。相应的应力分量是： L'??'2Dm'2'?XX???mcos?mX?(Am＋')sh?'mY?(B'm?mm?1??????2C ?')ch?'mY?C'mysh?'mY?D'mych?'mY??m?'m （c）
??????'?YY????'mcos??mX??A'msh??'mY??B'mch??'mY??C'mYsh??'mY??D'mYch??'mY??
2m?1? （d）
?XY???m?1'(Am??'2m'?'Cm'sin?X?(Bm?')sh?mY??m??'m????''''')ch?mY?DmYsh?mY?CmYch?mY???D'm'm （e）
??????（2）上、下边的剪应力为零，即?XYY?0,?0,?XYY?h,?0得
?XY?XY'mY?0???m?1??'2m'?'Dm??sin??X??Am?'???0 （f） ?m??'m'?'Cm'sin?X?(Bm?')sh?mh??m?Y?h???m?1'2m?'m???'m?(A?)ch?h?Dhsh?h?Chch?h??0??D'm'm （g）
??'m'm??'m'm??（3）上边界正应力?YYY?h??q?X?和（a）式得
?YYY?h????m?1?'2m''cos?mX[Amsh?'mh?B'mch?'mh?????? （h）
?P?m?lm?X?''''?Cmhsh?mh?Dmhch?mh]???1?2?coscosL?LL?m?1?????