内容发布更新时间 : 2025/1/7 16:11:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

（1） 求证：

AD

AC ??； AB BC

（2） 如图 8，以点 A 为圆心，AB 为半径画弧交 AC 的延长线于点 E，联结 BE，延长 AD 交 BE 于

点 F.求证：

EF

AD

??. BF BD

A

A B B C

D F 图 8

C E

D

图 7

CA CB

? . CD CA

又∵ ?ACD ? ?BCA ，∴△ ACD∽△ BCA.

AD AC ∴ ??. AB BC

（2）（方法 1）如图 8-1，过点 B 作 AE 的平行线，交 AF 的延长线于G .

∵△ ACD∽△ BCA，∴ ?CAD ? ?CBA .

B∵ BG ∥ AE ，∴ ?G ? ?CAD .∴ ?G ? ?CBA. 又∵ ?BAD ? ?G A ，∴△ ABD∽△ AGB.

AD BD AB AD GB∴ .即 ? ??

BD AB GB

EF AE

∵ BG ∥ AE ，∴ ? . BF GB EF AB EF AD

又 ∵ AE ? AB ，∴ .∴ ????. BF GB BF BD

（1）证明：∵ CA? CD ? CB ，∴ 2

A D F C E 图 8-1 G 本题方法较多（目前已经发现了 8 种），现提供部分方法如图 8-2,8-3,8-4 所示.

G

A A

B A B C E D F 图 8-2 D F G 图 8-3

C B D F 图 8-4

C G E

E

24．（本题满分 12 分，每小题 4 分）

已知在平面直角坐标系 xOy （如图 9）中，已知抛物线 y ? ?x? bx ? 4 与 x 轴的一个交点为

2

A( ?1， 0 )，与 y 轴的交点记为点 C.

（1） 求该抛物线的表达式以及顶点 D 的坐标；

（2） 如果点 E 在这个抛物线上，点 F 在 x 轴上，且以点 O、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，直

接写出点 F 的坐标（写出两种情况即可）；

（3） 点 P 与点 A 关于 y 轴对称，点 B 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，点 Q 在抛物线上，且∠PCB=

∠QCB，求点 Q 的坐标.

y 1 A O 1 x

解：（1）将 A (?1,0) 代入 y ? ? x? bx ? 4 ，解得

2

2

图 9 b ? 3 .

3 25

? 3x ? 4 . 顶点 D 的坐标为( , ) . 所求的抛物线的表达式为 y ??x2 4

3 ? 41 ,0) 或者( 3 ? 41 （2） 点 F 的坐标为(3,0) 或者( ,0) 或者(?3,0) .

2 2

（3）（方法 1）如图 9-1，过点C 作 y 轴的垂线，过Q 作 x 轴的垂线， H 为垂足.

由题意，易得点 P 的坐标为(1,0) ，点 B 的坐标为(4,0) ， OC ? OB ，

?OBC ? ?OCB .∵ ?BOC ? 90? ，∴ ?BCO ? 45? . ∴ ?HCB ? 90? ? 45? ? 45? . ∵ ?PCB ??PCO ? 45? ， ?QCB ??HCQ ? 45? ， ?P C B??Q C B， ∴ ?P C O??H C Q. ∴Rt△ CPO∽Rt△ CHQ. ∴

OP

1

HC ? m ，则 HQ ? m ， 将OP ? 1， OC ? 4 代入，得 HC ? 4HQ .设 4

1 m) . 于是点Q 的坐标可以表示为： Q(m,4 ??4

1 1 2 2 将Q(m,4 ? m) 代入 y ? ? x? 3x ? 4 ，得4 ? m ? ?m? 3m ? 4 .

4 4 1

解得 m1 ? 3 ， m2 ? 0 （不合题意，舍去）.

4

HQ

?

OC HC

.

3 ,3 ) .

4 4 16 4 16

延长CP 交抛物线于Q ，易得直线CP 的表达式为 y ? ?4x ? 4 ，

0 ? y ? ?4x ? 4 解?，得? ? x1 ?， ? ? x2 ? 7 2

y ? 4 y ，得Q(7,?24) . y ? ? x? 3x ? 4

? ?24 ? 1 ? 2 ?

当 m ? 3 时， 4 ? 1 m ? 3 . 所以点Q 的坐标为(3 其它方法如图 9-2，图 9-3 所示.

131

图 9-1

与抛物线的表达式求点Q 的坐标.

图 9-2

图 9-3

（方法 2）延长CQ 交 x 轴于点 M ，通过△ CPO∽△ MCO 求出点 M 的坐标，然后求直线CM 的表达式（方法 3）过点 B 作 BN ? OB ，截取 BN ? BP ，求直线CN 的表达式，然后同方法 2.

25．（满分 14 分，第（1）、（2）小题各 4 分，第（3）小题 6 分）已知：

O 上，点Q 是⊙ O 上点 P 不在 任意一点. ．．⊙．．

O 的“最近距离”；将线段 定义：将线段 PQ 的长度中最小的值称为点 P 到⊙ PQ 的长度的最大

的值称为点 P 到⊙ O 的“最远距离”.

O 的“最近距离”为2 ，点 O 的“最远距离”为6 ，求⊙ O 的半径长（1）（尝试）已知点 P 到⊙ P 到⊙

（不需要解题过程，直接写出答案）.

O 外，试在⊙ O 上确定一点Q ，使得 （2）（证明）如图 10，已知点 P 在⊙ PQ 最短，并简要说明 PQ

最短的理由.

（3）（应用）已知⊙ O 的半径长为5 ，点 P 到⊙ O 的“最近距离”为1，以点 P 为圆心，以线段 PO 为半径画圆.⊙ P 交⊙ O 于点 A 、 B ，联结OA、 PA .求?OAP 的余弦值.

O P O O

图 10 备用图 2

备用图 1

N

E

O

Q

图 10-1

解：（1）点 P 在⊙ O 内，⊙ O 的半径长为：

2 ? 6 ? 4 , 点 P 在⊙ O 外，

2

⊙ O 的半径长为：

6? 2

2

? 2 . （2） 联结 PO ，交⊙ O 于Q ，则 PQ 最短.

①在⊙ O 上任取一点 N （不与直径QE 的端点Q 、 E 重合），联结ON 、 PN （如图 10-1）.∵ ON ? PN ? OP ， OP ? OQ ? PQ ， ∴ ON ? PN ? OQ ? PQ .

又∵点Q 、 N 在⊙ O 上，∴ OQ ? ON .∴ PN ? PQ .

②在⊙ O 上取一点 N ，当点 N 与点 E 重合时， PQ ? PE .综上，则 PQ 最短.

（3） 当点 P 在⊙ O 外，联结OP 交⊙ O 于Q （如图 10-2），联结OA 、 PA .

由题意得 PQ ? 1， PA P?O O?Q ?PQ ? 5?1? 6 .

过 P 作 PG ? OA ，垂足为G ，易得 AG ? . 5

2

易得cos?OAP ??

AG AP ? 5 12.

当点 P 在⊙ O 内，联结OP 并延长交⊙ O 于点Q （如图 10-3），联结OA 、 PA .

P

由题意得 PQ ? 1 ， PA P?O O?Q ?PQ ? 5? 1? 4 . 过点 P 作 PH ? OA，垂足为点 H ，易得 AH ??5

类似可求c o s ?OAP

? AH AP? 5 .

8

A G O

Q P

B

图 10-2

2

A H O

P

Q

B

图 10-3