地理教学材料-地球上任意两点间最短距离计算公式的推导方法 下载本文

内容发布更新时间 : 2025/1/23 14:35:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

地球上任意两点间最短距离计算公式的推导方法

解析:在讲《世界地理》下册的“世界的交通和联系”一节时,课文中有这样一段:“越过北冰洋的航空线是联系亚、欧和北美三大洲的捷径。从东京到伦敦,沿北极圈飞行,比经过莫斯科能缩短1100公里。现在从东京到西欧和美国已开辟有穿过北极上空的航线”。当讲到此时,学生们便常问:为什么沿纬线飞行反而要远些?第八章“南极洲”讲到交通位置的重要性时,也常提到同样的问题。对这个问题我们知道,地球上的两点的最近距离应是这两点的大圆弧,而除赤道以外的其它任何同在一条纬线上的两点,它们的纬线并不是经过这两点的大圆弧,所以要远些。那么地球上任意两点间的最短距离(大圆弧)又怎样计算呢?

对上面这一问题,可通过用几何和三角作一个简单的推导,如下:

分别相交于A′和B′。分别用直线连接这四点成四条弦,这四条弦构成了一个等腰梯形AB′BA′,即两腰AA′=BB′。

然后以这梯形的两腰分别作底边,以地心O点作顶点,又可做出两个等腰三角形,△BOB′和△AOA′。而这两个三角形的顶角:∠BOB′=∠AOAc

可用平面三角法,求出梯形的两腰:

又设图中r1和r2分别为B和A的自转半径

而△AO2B′和△A′O1B又是以δ2-δ1为顶角的等腰三角形,通过平面三角法又可求得梯形的上下两底长:

将②③或分别代入上两式即得:

在求出等腰梯形四边的长度后,再计算其对角线AB(弦)的长度。 通过图中所引的辅助线后,可算出:

在直角三角形ACA′中: AC2=AA′2-A′C2

在直角三角形ACB中: AB2=AC2+BC2

将⑥、⑧式代入上式:

即:AB2=AA′2+AB′·A′B……………………………………⑨

若再设AB弦对应地心○点的圆心角为θ,则△AOB又是以地球半径R为两腰的等腰三角形:

将此式和前面的①④⑤代入⑨式:

由上面公式即可求得地球上任意两点分别与地心连线的夹角θ,只要求出θ,就可求出过这两点间最大圆弧长,也就是这两点最近距离S。

最后必须指出:该公式是考虑地球是正圆球时推导的。另外,在运用公

经为正,西经为负。