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2019-2020学年高中数学 37《对勾函数的图像与性质》学案 苏教版

必修1

【学习目标】

1． 理解并掌握对勾函数f(x)?x?2． 通过对勾函数f(x)?x?【课前导学】

【问题情境】已知函数f(x)?x?a(x?0)的图像与性质； xa(x?0)的图像与性质的研究，体会与感悟函数的研究方法． x1（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）证x明函数在(0,1]上是减函数，在[1,??)上是增函数． 【课堂活动】 一．建构数学：

问题（1）你能用我们学过的函数知识证明该函数f(x)?x?1在(0,??)的最小值为f(1)x吗？

答略．

问题（2）你能画出该函数在定义域上的大致图象吗，怎样画？

提示：描点作图：先画出在(0,??)上的图象，再由奇偶性画出在(??,0)上的图象（有条件的情况下可用Excel软件作图）

问题（3）你能知道该函数在(??,0)上的最值情况吗？能说明理由吗？ 答略．

问题（4）你能知道该函数在(??,0)上的单调性吗？能说明理由吗？

说明：设计这个问题串目的是为了全面复习函数的主干知识，全面检测学生对函数的基础知识和基本方法的掌握情况． 二．应用数学：

1．教师引导，学生合作探求

我们已经知道f(x)?x?么你能解决下列问题吗？

1的图象和在定义域上的奇偶性、单调性及其最值情况，那x4的单调区间． x9（2）求函数f(x)?x?的单调区间．

xa（3）求函数f(x)?x?(a?0)的单调区间？并给出证明．

x（1）求函数f(x)?x?（1）和（2）可以让学生分组讨论．探求，交流发言，形成共识后解决（3）．

设计这个问题串是为了给学生提供一个合作探究的平台，训练观察、分析、解决问题的

能力，让学生尝试数学发现之路即：观察、分析、归纳、猜想、证明．

2．变式探究 提升能力

若函数f(x)?x?a(a?0)在(0,2]上是减函数．在[2,??)上是增函数，求a的值． x注：这是利用逆向思维设计问题，目的是为了让学生先猜想后证明，再次体验数学发现，激发学生的兴趣．

3．归纳总结，拓展创新

（1）已知函数f(x)?x?1．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）单调x性如何？（只要给出判断，不必证明）

注：设计这个变式，目的是为了既缓和学生的思维强度，又训练学生思维的灵活性，同时也为学生总结作铺垫．

（2）你能对函数f(x)?x?a的定义域、奇偶性、单调性作一个总结吗？ x注：设计这个问题目的是为了帮助学生回顾本节课所研究的问题，完成对数学问题的探究，使问题得到圆满的解决，同时回答本题需要对a讨论，有助于训练学生思维的全面性． 三．理解数学： 1．已知函数f(x)?x?1，分别求函数在以下定义域上的值域： x2（1）x?(2,4]； （2）x?[?1,?]；

311（3）x?[,4]； （4）x?(?2,0)?(0,)．

22答案：（1）?,5??5?517??13??17???；（2）；（3）；（4）?,?22,??,??,????． ???????246422??????????2(x?(?2,0)?(0,1)； x2．求下列函数的单调区间和最值：

（1）f(x)?x?x2?3(x?[1,3])； （2）f(x)?x（3）f(x)?2x?5(x?0)． x答案：（1）增区间为??2,0?,?0,1?，无最值；

（2）增区间为?3,3?，减区间为?1,3?，最小值是23，最大值是4；

?????10??10?,??0,（3）增区间为???，最小值是210，无最大值． ?，减区间为??22????【课后提升】

1．已知函数f(x)?x?1，求函数在x?[a,??)(a?0)的值域，若x?[a,b](0?a?b)呢？ x解：因为x?[a,??)(a?0)， 当a?1时，函数的值域是?2,???； 当a?1时，函数的值域是?a?,???．

a??若x?[a,b](0?a?b)，

?1?当b?1时，函数的值域是?b?????11?,a??； ba?11?,b??； ab?当a?1时，函数的值域是?a?当a?1?b时，函数的值域是??2,maxf?a?,f?b???．

??x2?2x?a2．已知函数f(x)?在(0,3]是减函数，在[3,??)是增函数，求的a值．

x解：由函数f(x)?x?3．已知函数y?x?a?a?0?的单调性可知，a?3,a?9． xa有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0,a]上是减函数,在 x[a,??)上是增函数.

2b(x?0)的值域为[6,??)，求b的值； （1）如果函数y?x?xc(常数c?0)在定义域内的单调性，并说明理由； x2aa2 （3）对函数y?x?和y?x?2(常数a?0)作出推广，使它们都是你所推广的函数

xx2 （2）研究函数y?x?的特例. 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）． 解：（1）由所给函数y?x?ba(a?0)性质知，当x > 0时，x?a时函数取最小值2a. x所以对于函数y?x?2,当x?2b时取最小值22b,所以22b?6,2b?9,∴b = log29.

x2 （2）设t?x,(t?0)则y?t?由条件知在t?2

ctc时为单调增函数，0?t?c时为

单调递减函数，而t = x在（0，+∞）为单调增函数，在（－∞，0）上为单调减函数，