内容发布更新时间 : 2025/1/7 12:13:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s-1，如用它作为?ph6.626?10?34Jgsx??x?10?6m光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，?6.626?10?28Jgsgm?1 发射光电子的最大速度是多少？
在104V的加速电压下，电子的动量为：
hv?hv10?mv2pm2x??x?2meV解：
1?2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?104V??v?v0??2?5.402?10?23??2h?Jgsgm?1
?m??1由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：
?8?1?2?6.626?10?34Jgs??2.998?10mgs?12?5.464?1014s????p???arcsin??arcsinx???300?10?9m?px???9.109?10?31kg??6.626?10?28??Barcsin??Jgsgm?1?
?5.402?10?23Jgsgm?1??1?5?2?6.626?10?34Jgs?4.529?1014s?1?2Barcsin10???9.109?10?31kg???0o
?8.12?105mgs?1
这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点
上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射。
【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长： ??d222??ax（a）
质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s-1【1.11】??xe2是算符?dx2?4ax??的本征函数，的尘埃；
求其本征值。
（b） 动能为0.1eV的中子； 解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征（c）
动能为300eV的自由电子。
函数，本征值和本征方程）得：
?解：根据关系式： ?d2x?d222?22??ax2?dx2?4a??????dx2?4ax?xe?
(1)
2?d?ax222??ax2??h?6.626?10?34J?s22dx2xe?4axxe? mv10?10kg?0.01m?s?1?6.626?10?m
?ddx?e?ax2?2ax2e?ax2??4a2x3e?ax2 (2)??hhp?2mT??2axe?ax2?4axe?ax2?4a2x3e?ax2?4a2x3e?ax2
?34?6.626?10J?s??6axe?ax22?1.675?10?27kg?0.1eV?1.602?10?19J??eV??1??6a?
?9.403?10-11m 因此，本征值为
?6a。
(3) ??hhdp?2meV【1.13】eim?i和cosm?对算符d?是否为本征函数？若
34 ?6.626?10?J?s2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?300V是，求出本征值。
?7.08?10?11mideim??ieim?
解：d?，im??meim?
【1.7】子弹（质量0.01kg，速度1000m·s-1），尘埃（质dd?量10-9
kg，速度10m·s-1
）、作布郎运动的花粉（质量10-13
kg，所以，eim?i是算符的本征函数，本征值为
?m。
速度1m·s-1）、原子中电子（速度1000 m·s-1）等，其速而
度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位idd?cosm??i??sinm??gm??imsinm??ccosm?置时，不确定度关系是否有实际意义？
m?id所以cos不是算符d?的本征函数。
解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：
子
弹
：
?x?h6.26?10?34J?s【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相m??v?0.01kg?1000?10%m?s?1?6.63?10?34m
正交。
尘
埃
：证：在长度为l的一维势箱中运动的粒子的波函数?x?h?34?6.626?10J?s10?9kg?10?10%m?s?1?6.63?10?25m??vm为：
2n?x花
粉
：
?n?x??lsinl 0?x?1
n=1，2，3，……
?x?hm??v?6.626?10?34J?s10?13kg?1?10%m?s?1?6.63?10?20m
令n和n’表示不同的量子数，积分： ll2n?x2n?电
子
：
??n?x??n?x?d???h?34lsinlglsinxldx?x?m??v?6.626?10J?s009.109?10?31kg?1000?10%m?s?1?7.27?10?6m?2ln?xn?x l?singsinldx0l【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约10?6m）
??n?n????l观察不到电子衍射（用100000V电压加速电子）。 ?2?sinlxsinn?n?x??解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定l????n?n????l??度为：
?2?l2?n?n??l??0Vx?h?h?1.226?10?91?lVpgm?sin?n?n??xsin?n?n??x??xh/?V??l??1.226?10?9g1??10000m?n?n????ln?n??????0?1.226?10?11m
?sin?n?n??sin?n?n??这不确定度约为光学光栅周期的10－5
倍，即在此加速
?n?n????n?n??
电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5
倍，用n和n皆为正整数，因而?n?n?和?n?n?皆为正整数，
光学光栅观察不到电子衍射。
所以积分： l解法二：若电子位置的不确定度为10－6
m，则由不确定关??n?x??n?x?d??00系决定的动量不确定度为：
根据定义，
?n?x?和
?n?x?互相正交。
【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为
?n?x??2n
lsin?xl n?1,2,3???
式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标
?0?x?l?，求粒
子的能量，以及坐标、动量的平均值。
解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：
2H?ψn(x)?-hd28π2mdx2(2lsinnπxl)?-h2d2nπnπx8π2mdx(llcosl)
??h228?2ml?n?l?(?n?n?xlsinl) h2?n2?22n?xn2h2?8?2m?l2?lsinl?8ml2?n(x)
?n2h2E即：
8ml2 （2）由于
?x?n(x)?c?n(x),x?无本征值，只能求粒子坐
标的平均值：
x??l0?*n?x??x?l?n?x?dx???2n?x?*?l?2n?x??0?sinxdx?ll????0?sin??ll???
??21?cos2x?l?l0xsin2??n?x??l?2l?n?l??dx?l?0x???dx?2??
?1?x2l?ll?2n?x?lll2n?x?20?2n???xsinl??0?sindx?2n??0l?? ?l2
（3）由于?px?n?x??c?n?x?,p?x无本征值。按下式计算
px的平均值:
p??1*x0?n?x??px?n?x?dx
??12n?x?ihd?2n?0lsinl???2?dx??lsinxldx
??nihln?xn?xl2?0sinlcosldx?0
【1.19】若在下一离子中运动的?电子可用一维势箱近
似表示其运动特征： 估计这一势箱的长度
E222n?nh/8ml估算
?l?1.3nm，根据能级公式
电子跃迁时所吸收的光的波
长，并与实验值510.0
nm比较。
HHHHH3CCCCCCHNCCCN3CH3HHHCH3
解：该离子共有10个
?电子，当离子处于基态时，
这些电子填充在能级最低的前?5个
?型分子轨道上。离
子受到光的照射，
电子将从低能级跃迁到高能级，跃
迁所需要的最低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：
?E?hc62h252h211h2??E6?E5?8ml2?8ml2?8ml2
8mcl2??11h9?8?9.1095?10?31kg?2.9979?108mgs?1??1.3?10?m?211?6.6262?10?34Jgs?506.6nm
实验值为510.0nm，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。
【1.20】已知封闭的圆环中粒子的能级为：
Eh2n?n28?2mR2 n?0,?1,?2,?3,???
式中n为量子数，R是圆环的半径，若将此能级公式近似
地用于苯分子中
?66离域
?键，取R=140pm，试求其
电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。
解：由量子数?n可知，n=0为非简并态，|n|≥1都为
二重简并态，6个
电子填入n=0，1，
?1等3个轨
道，如图1.20所示： 4(b)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|μ|=?
D(r)/a010.200.150.100.050.000(c)轨道角动量M和z轴的夹角是多少度？
?E??????10(d)列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的
数值）。
(e)节面的个数、位置和形状怎么样？ (f)概率密度极大值的位置在何处？ (g)画出径向分布示意图。
246810012图1.20苯分子
?266能级和电子排布
r/a
?E?E2?E1??4?1?h8?2mR2?hc图2.9 H原子
由图可见,氢原子
?2pz的D-r图
? ?2p8?2mR2c??3h?8???9.11?10kg???1.40?102?31?10z的径向分布图有n-l＝1个极大(峰)
和n-l-1＝0个极小(节面)，这符合一般径向分布图峰数和节面数的规律。其极大值在r＝4a0处。这与最大几率密度对应的r值不同，因为二者的物理意义不同。另外，由于径向分布函数只与n和l有关而与m无关，2px、2py和2pz的径向分布图相同。 【2.10】对氢原子，
3??6.626?10m???2.998?10mgs28?1?34Jgs??解：（a）原子的轨道能：
E??2.18?10?18J?
（b）轨道角动量：
?212?10?9m?212nm实验表明，苯的紫外光谱中出现β，?和?共3个吸收带，它们的吸收位置分别为184.0nm，208.0nm和263.0nm，前两者为强吸收，后面一个是弱吸收。由于最低反键轨道能级分裂为三种激发态，这3个吸收带皆源于
1??5.45?10?19J22
hhM?l(l?1)?22?2? 轨道磁矩：
??c1?210?c2?211?c3?311，所有波
??l?l?1??e函数都已归一化。请对?所描述的状态计算：
(a)能量平均值及能量?3.4eV出现的概率； (b)角动量平均值及角动量2h/2?出现的概率； (c)角动量在z轴上的分量的平均值及角动量z轴分量
?电子在最高成键轨道和最低反键之间的跃迁。计算结
（c）轨道角动量和z轴的夹角：
果和实验测定值符合较好。 【1.21】函数??x??22/asin(?x/a)?32/asin(2?x/a)hMz2??0cos???hM2?o2?， ??90
0?（d）电子离核的平均距离的表达式为：
*?r???2pzr?2pzd?h/?出现的概率。
解：根据量子力学基本假设Ⅳ-态叠加原理，对氢原子
是否
是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。
解：该函数是长度为a的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为函数
???0??0z?2?
?所描述的状态：
(a)能量平均值
22E??ci2Ei?c12E1?c2E2?c3E3i0?22pr?r2sin?drd?d?z?1?x??2/asin(?x/a)（e）令
?2p?0，得：
0
和
?2?x??2/asin(2?x/a)r=0，r=∞，θ=90
节面或节点通常不包括r=0和r=∞，故
都是一维势箱中粒子的可
?2pz的节面只有
能状态（本征态），根据量子力学基本假设Ⅳ（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。 因为
111??2??2???c??13.6?2eV??c2??13.6?2eV??c3??13.6?2eV?223??????
21一个，即xy平面（当然，坐标原点也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分Y?θ=900。
（f）几率密度为：
H??x??H??2?1?x??3?2?x???????3/4?cos??0，求得
13.6222??c3eV?c1?c2?eV?13.64922???3.4c12?3.4c2?1.5c3?eV
?2H?1?x??3H?2?x?2
2
?2?h4h?1?x??3??2?x?8ma28ma2
2???2p?z? 常数???x?
?
1?r??ar2?ecos?3?32?a0?a0?02能量?3.4eV出现的概率为
2c12?c22?c12?c222c?c?c23
21所以，
??x?由式可见，若r相同，则当θ=00或θ=1800时ρ最大（亦
不是H的本征函数，即其能量无确定值，可
按下述步骤计算其平均值。 将
????sin??0?00
可令??，θ=0或θ=180），以0表示，
即：
2(b)角动量平均值为
22M??ci2M?c12M1?c2M2?c3M3i??x?归一化：设
??x?c??x?=
a2，即：
a?c021l1?l1?1? 0???x?a2dx??c??x?dx??c2?2?x?dx002
a?2?x22?x???c2?sin?3sin?2?dxaaa?0?a? 12c??13c2?1 13 ??x?将
?r??ar?0??(r,??0,180)??e3?32?a0?a0? ?0oo1hhh22?c2l2?l2?1??c3l3?l3?1?2?2?2?
对r微分并使之为0，有：
所代表的状态的能量平均值为：
aE????x?H??x?dx0a?2rd?0d?1?r??a0????e??3drdr?32?a0??a0???
r???1r?rea0?2???0532?a0a0??hhh22?c1?1?1??c21?1?1??c31?1?1?2?2?2?
2h2??c1?c22?c32?2?
2h角动量2?出现的概率为
21
23c12?c2?c3?1解之得：r=2a0（r=0和r=∞舍去）
又因：
?2?x22?x??h2d2????2csin?3csin???2m2??aaaa?0???8?dx?
(c)角动量在z轴上的分量的平均值为
d2?0|?02r?2a0 dr
所以，当θ=00或θ=1800，r=2a0时，
2?2pzMz??ci2Mzi?c12m1ihhh21?c2m2?c3m32?2?2?
?2?x22?x???2casina?3casina??dx大值为： ?? 2a22aa2a0??2aae?2ch15c2h2?x2?x9c2h22??x1?2?x2?e??m3?3??sindx?sinsindx?sindx??8?a0ma3a2ma3aama2a32?a0?a0? 000 222?35ch5h ?36.4nm ??ma213ma2
（g）
??x??2?x?2也可先将1和归一化，求出相应的能量，再5?r?r2?14?a02a0?222?1?1?E??ci2Ei??x?D2pz?rR?rre?re利用式求出所代表的状态的能量??5?26?a0??24a0???? 平均值：
00有极大值。此极
2???c?0?c?1?c3???1???2122h22??c2?c3?2h2??
角动量z轴分量h/π出现的概率为0。
【2.13】写出He原子的Schr?dinger方程,说明用中心力场模型解此方程时要作那些假设,计算其激发态(2s)1(2p)1的轨道角动量和轨道磁矩.
解：He原子的Schrodinger方程为：
h2h40chE?4c??9c2??8ma28ma28ma22240h15h???28ma1313ma2
222222根据此式列出D-r数据表： r/a0
?1a00 0 7.0
0.091
1.0 0.015 8.0 0.057
2.0 0.090 9.0 0.034
3.0
?h22e2?11?1e2?22g???E???2??1??2??????4??0?r1r2?4??0r12??8?m
式中
r14.0 r2和5.0 6.0 r分别是电子1和电子2到核的距离，12是电
【2.9】已知氢原子的
D/
0.169 0.195 0.175 0.134 子1和电子2之间的距离，若以原子单位表示，则He原子的Schrodinger方程为： 10.0 11.0 12.0
?2p?z?r??r???exp???42?a?a0??a0?cos?，试回答下列
130r/a0 D/
?1a0?12221?2E?????1??2??-2?????-3
2rr2r120.019 1.02×10 5.3?1?×10
用中心力场解此方程时作了如下假设：
问题：
(a)原子轨道能E=?
按表中数据作出D-r图如下：
(1)将电子2对电子1（1和2互换亦然）的排斥作用
归结为电子2的平均电荷分布所产生的一个以原子核为中心的球对称平均势场的作用（不探究排斥作用的瞬时效
果，只着眼于排斥作用的平均效果）。该势场叠加在核的库仑场上，形成了一个合成的平均势场。电子1在此平均势场中独立运动，其势能只是自身坐标的函数，而与两电子间距离无关。这样，上述Schrodinger方程能量算符中的第三项就消失了。它在形式上变得与单电子原子的Schrodinger方程相似。
(2)既然电子2所产生的平均势场是以原子核为中心的球形场，那么它对电子1的排斥作用的效果可视为对核电荷的屏蔽，即抵消了?个核电荷，使电子1感受到的有效电荷降低为
?2???e。这样，Schrodinger方程能量算
?2??符中的吸引项就变成了
r1，于是电子1的单电子
Schrodinger方程变为：
???1?22???1???1?1??E ?2r1?1?1?1?
按求解单电子原子Schrodinger方程的方法即可求出单电子波函数
?1(1)及相应的原子轨道能E1。
上述分析同样适合于电子2，因此，电子2的Schrodinger方程为：
???1?22???2??? ?2r?2?2??E2?2?2?2
电子2的单电子波函数和相应的能量分别为
?2?2?和
E2。He原子的波函数可写成两单电子波函数之积：
??1,2???1?1?g?2?2?
He原子的总能量为：
E?E1?E2
He原子激发态
?2s?1?2p?1角动量加和后L=1，故轨道
角动量和轨道磁距分别为：
Mh
L?L?L?1?2??2h2? ??L?L?1??c?2?c
【1.14】写出Li2+
离子的Schr?dinger方程，说明该方程中各符号及各项的意义，写出Li2+离子1s态的波函数并计算或回答：
(a)1s电子径向分布最大值离核的距离； (b)1s电子离核的平均距离； (c)1s电子几率密度最大处离核的距离； (d)比较Li2+
离子的2s和2p态能量的高低；
(e)Li原子的第一电高能(按Slater屏蔽常数
算有效核电荷)。
解：Li2+离子的Schr?dinger方程为：
?h23e2??2?2?? ?8??4?????E?0r?
方程中，μ和r分别代表Li2+的约化质量和电子到核的距离；▽2，ψ和E分别是Laplace算符、状态函数及该状态的能量，h和ε0分别是Planck常数和真空电容率。方括号内为总能量算符，其中第一项为动能算符。第二项为势能算符（即势能函数)。 Li2+子1s态的波函数为：
??211s???27e?3ar0 ??a3?0?
D1s?4?r2?21s?4?r2?27?6ar01082?6ar0 （a）
?a3e?3re0a0
dD108?6??6ar01s?3?2r?r2? drae?00?a0?
Qr???2r?62ar?00
Qr?0?r?a0 又
3
a01s电子径向分布最大值在距核3处。 （b）
r???*1s?r?1sd?
?27?6ar02
?r?21sd???r?a3ersin?drd?d?0
?27?r3e?6ardr ?a30?0??0sin?d??2?00d? ?27?a403?4 ?a?0216 ?1a 20
?227?6ar01s?3e （c）?a0
2 因为
?1s随着r的增大而单调下降，所以不能用令一
阶导数为0的方法求其最大值离核的距离。分析?21s的表
2达式可见，r＝0时e?6ra0最大，因而
?1s也最大。但实际上
r不能为0(电子不可能落到原于核上)，因此更确切的说
法是r趋近于0时1s电子的几率密度最大。
（d）Li2+
为单电子“原子”，组态的能量只与主量子
数有关，所以2s和2p态简并，即E2s=E2p。
（e）Li原子的基组态为(1s)2(2s)1。对2s电子来说，
1s电子为其相邻内一组电子，σ=0.85。因而：
E?13.6eV?(3?2?0.85)2
2s?22??5.75eV
根据Koopmann定理，Li原子的第一电离能为： I1=-E2s=5.75eV
【2.19】写出下列原子能量最低的光谱支项的符号：(a)Si; (b)Mn; (c)Br; (d)Nb; (e)Ni
解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满的电子层，电子的自旋互相抵消，各电子的轨道角动量
矢量也相互抵消，不必考虑），根据 Hund规则推出原子最低能态的自旋量子数S，角量子数L和总量子数J，进而写出最稳定的光谱支项。 ?Si：
?Ne?3s23p2? 10?1
m3S?1,S?1;mL?1,L?1;L?S?0;P0
?Ar?4s23d5?????Mn：
210?1?2
m5S?5;m5S?,L?0,L?0;L?S?2;622S5/2
???Br：
?Ar?4s23d104p5??10?1
m113S?2,S?2;mL?1,L?1;L?S?2;2P3/2
?Kr?5s14d4????Nb：
210?1?2
m?551S2,S?2;mL?2,L?2;L?S?2;6D1/2
??Ni：
?Ar?4s23d8??????
210?1?2
mS?1,S?1;mL?3,L?3;L?S?4,3F4
【2.21】基态Ni原子的可能的电子组态为：（a）[Ar]3d84s2;
(b)[Ar]3d94s1，由光谱实验确定其能量最低的光谱支项为
3
F4。试判断它是哪种组态。
解：分别求出a，b两种电子组态能量最低的光谱支
项，与实验结果对照，即可确定正确的电子组态。
组
态
a
：
mS?1,S?1;mL?3,L?3;L?S?4。因此，能量最低
3的光谱支项为
F4，与光谱实验结果相同。
组态b：
mS?1,S?1;mL?2,L?2;L?S?3。因
3
此，能量最低的光谱支项为
D3
，与光谱实验结果不同。
所以，基态Ni原子的电子组态为?Ar?3d84s2。
【2.22】列式表明电负性的Pauling标度和Mulliken标度是怎样定的？
解：Pauling标度：
??1A?B?0.102?2
式中
?A和?B分别是原子A和B的电负性，Δ是A—B键的键能与A-A键和B-B键键能的几何平均值的差。定F的
电负性
?F＝4。
Mulliken标度：
?M?0.18(I1?Y)
式中I1和Y分别为原子的第一电离能和电子亲和能(取以eV为单位的数值)，0.18为拟合常数。
[评注] 电负性是个相对值，在Mulliken标度
中拟合常数有的选0.21，有的选0.5，用Mulliken标度时应予以注意。
【2.23】原子吸收光谱分析较原子发射光谱分析有那些优缺点，为什么？
解：原子从某一激发态跃迁回基态，发射出具有一定
波长的一条光线，而从其他可能的激发态跃迁回基态以及
在某些激发态之间的跃迁都可发射出具有不同波长的光
线，这些光线形成了原子发射光谱。
原子吸收光谱是由已分散成蒸气状态的基态原
子吸收光源所发出的特征辐射后在光源光谱中产生的暗
线形成的。
基于上述机理，原子吸收光谱分析同原子发射光谱分析相比具有下列优点：
①灵敏度高。这是因为，在一般火焰温度下
(2000～3000K)，原子蒸气中激发态原于数目只占基态原子数目的10-13～10-3左右。因此，在通常条件下，原子蒸气中参与产生吸收光谱的基态原子数远远大于可能产生发射光谱的激发态原子数。
②准确度较好。如上所述，处于热平衡状态时，原子蒸气中激发态原子的数目极小，外界条件的变化所引起的原子数目的波动，对于发射光谱会有较大的影响，而对于
吸收光谱影响较小。例如，假设蒸气中激发态原子占0.1%，
则基态原子为99.9%。若外界条件的变化引起0.1%原子的波动，则相对发射光谱会有1%的波动影响，而对吸收光谱．波动影响只近于0.1%。
③谱线简单，受试样组成影响小。空心阴极灯
光源发射出的特征光，只与待测元素的原子从其基态跃迁到激发态所需要的能量相当，只有试样中的待测元素的原子吸收、其他元素的原子不吸收此光。因而不干扰待测元素的测定。这使谱线简单，也避免了测定前大量而繁杂的分离工作。
④仪器、设备简单，操作方便、快速。
【2.24】什么是X射线荧光分析?X射线怎样分光?
解：利用能量足够高的X射线照射试样，可产生频率低于原生X射线的次生X荧光射线。产生X荧光的机理与产生原生特征X射线的机理相似，即由高能的原生X射线的光子轰击原于内层电子，再由其他内层电子补位而产生X荧光。这些具有一定特征的次生X光形成了X荧光光谱。
利用分光计分析X射线荧光光谱(即测定特征谱线的波长
和强度)，鉴定样品的化学成分及其含量，称为X射线荧
光分析。
X射线一般用晶体光栅进行分光。
2?【3.2】写出O2，
O?2，
O2的键级，键长长短次序和磁
性。 分子（或离子） O?2?2
OO?2
2
O2
键 级 2.5 2
1.5
1
键长次序