内容发布更新时间 : 2024/11/17 20:25:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

考研同济五版《线性代数》习题解读（四）

首先说一下，第四章的精华就在于勾勒出了向量组、矩阵和线性方程组之间的关系，它们共同形成一个线性代数的知识网络，习题四中的证明题基本上都是对思维的锻炼，做好这些证明题有助于加深对线代知识点相互关系的理解，要重点对待。

1、涉及一个重要的知识转换，即一个向量能否被另一个向量组线性表出的问题实际上就是一个线性方程组是否有解的问题，同时，一个向量组是否能被另一个向量组线性表出的问题实际上就是两个向量组的秩的比较问题，所以此题即转化为考察两个向量组的秩的大小。因为我们知道一个重要的事实：一个向量组不可能由比它秩更小的向量组来线性表出，例如，三维空间里的向量(秩是3)永远不可能由平面上的向量(秩是2)来表出。

2、考察向量组的等价，搞清楚何为向量组等价，直接验证即可，基本题。另外可以发散一下思维，向量组等价和矩阵等价有何不同?哪个命题的结论更强?实际上向量组等价则对应矩阵一定等价，反之未必。

3、与线性表出有关的命题，一般用反证法，这类题目可以有效的锻炼解题思路，如果不会要重点体会答案给出的方法和思路。

4、5题涉及线性相关和线性无关的判断，实际上还是转化为方程组有解无解的问题，基本题。

6题考察对两个向量线性相关的理解，实际上就是对应成比例，但实际上很多类似的题目不仅仅局限于两个向量，此题不是太有代表性，了解一下即可。 7、8涉及到一些相关和无关的命题判断，重点在于理解题干的意思，如8(1)的错误在于放大了线性相关的结论，因为线性相关只需要至少有一个向量可由其余向量表示，而不一定能确定到底是哪个向量能用其余向量表示，类似的去理解清楚其余几个说法要表达的意思，这是第一要务。至于反例倒在其次，可以通过参考书的答案看看，了解下有这样的反例即可。

9、10题是证明线性相关线性无关的经典题，可先假设其线性组合为零，然后推证系数的情况，若系数可不全为零则线性相关，若系数必须全为零则线性无关，重点题型。

11、12考察如何求一个向量组的秩和最大无关组，注意求向量组的秩只能用一种变换(一般用行变化)，化为阶梯形即一目了然，基本题型的练习，要熟练掌握。

13、通过秩来确定参数，基本题，只不过这里是以向量组的形式给出条件，和以线性方程组、矩阵的形式给出条件无本质区别。

14、15是向量组的命题，注意单位坐标向量的特殊性：线性无关。另外14题就是15题的特殊情况。

16、用反证法，此题的巧妙之处在于要逐步递推，这是线代习题中少有的过程比结论重要的题目(大多习题都是结论常用所以显得更重要)，注意仔细体会证明过程。

17、就是习题三的20题，只不过是以向量组的说法给出。

18、应该从此题中体会到的是：两个向量组等价，则其关系矩阵一定是满秩的，原因可用矩阵的语言来解释：两个向量组等价实际上就是通过一系列初等变换可互化，关系矩阵就是这些所所有初等变换对应的初等矩阵的乘积，初等矩阵全部都是满秩的。

19、题目本身不难，直接代入已知条件再作适当的变形即可，但复习过一遍线代的同学应该注意到，特征值与特征向量的一些概念在此题中已经初现端倪，要把思路拓宽，看看从特征向量的角度来看是否能对题目有新的体会。 20、齐次线性方程组的练习，基本题型，必需的练习，尤其是(3)这类系数由通式给出的方程，在考研中出现的概率更高，注意不要出错。 21、实际上转化为线性方程组的题目，也是基本题型。 22、就是习题三的15题，两者无本质区别。

23、基本题，求方程组的基础解系，另外注意公共解实际上就是方程组联立后的结果。

24、题目涉及的重要命题有两个，一是：若AB=0，则R(A)+R(B)〈=0;另一个是：R(A)+R(B)〉=R(A+B)。至于证明本身，只是这两个命题在某种特殊情况下的综合应用，解答过程给我们的提示相对来说是更重要的。

25、与伴随阵的秩有关的著名命题，常用结论，一定要掌握。证明过程很多参考资料都给出了。

26、非齐次线性方程组的练习，基本题型。

27、考察线性方程组的解的结构，较好的融合了该部分的相关知识点，通过此题的练习可以加深解的结构相关概念的理解。

28、讨论参数取值对方程组的解的影响，基本题，以向量组的语言给出而已。 29、把线性方程组和空间解析几何的知识点相结合的一道题目，可以作为一个提高练习，不强求掌握。

30、以抽象的向量形式给出线性方程组的问题，考研典型题之一，解决此题需要综合应用线性方程组和向量组的若干知识点，重点掌握和理解的对象。 31、32、33都是涉及解的结构的证明题，其中对基础解系的理解要清晰：基础解系是线性无关的，同时所有的解都可由基础解系表示，由此可见基础解系本身就给出了许多强有力的信息，这个在题目中一定要多加利用。同时还有一些解的结构的命题，如非次方程解的差即齐次方程解，等等，也可以通过这几道练习中来加强理解和掌握。

34及以后的向量空间的题目都不作要求，最多是40题的过渡矩阵了解一下即可，具体解法可参加书上例题，这里不再详述。

通过三、四章的学习和练习，我们体会到，要学好线代，需要建立起良好的思维习惯，即面对线性代数的知识点，常常需要从不同的角度(方程组角度、向量组角度和矩阵角度)去理解同一个数学事实或数学命题，并且它们通常还是可以互推的，所以在线代里，“见一反三”非常重要，一旦抓住了整个知识网络，线代就会成为考研数学里最简单的一环。

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