内容发布更新时间 : 2024/5/10 16:18:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

授课时间 授课方式 （请打√） 第 周 星期 第 节 理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□ 课次 课时 安排 14 2 授课题目（教学章、节或主题）： 第十四讲 向量空间、向量的长度、内积及正交性 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 了解向量空间的相关概念；掌握向量的内积、长度与夹角的定义；了解内积、长度与夹角的一些性质；掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法；熟悉正交矩阵的定义及其正交矩阵的性质. 教学重点及难点： 重点：标准正交基；Schmidt正交化方法. 难点：标准正交基的求法. 教 学 基 本 内 容 一、向量空间 1、定义1 设V是Rn的一个非空子集，若满足： ????（1）对任意?,??V,????V．（V对加法封闭） ??（2）对任意??V和任意k?R,k??V．（V对乘法封闭） 则称V为一个向量空间． 例1、 Rn构成n维向量空间． 例2、V4?{(x1,x2,x3)|x1?x2?x3?0}是R3空间． 2、向量空间的基与维数 备注 定义2 设V是一向量空间，它的一个最大无关组，称为它的一个基： ????1,?2??r；其中向量个数r称为向量空间的维数，记dimV?r，称V是r维 向量空间． ???[注] 零子空间的维数是0，R的维数是3，e1,e2,?en是Rn的自然基． 3 3、坐标及坐标变换 ?????定义3 对于向量空间W的一组基?1,?2??n，任一向量??x1?1??xn?n????的线性表示系数是唯一确定的，称(x1,x2,?,xn)为?在基?1,?2??n下的坐 ?标；而(x1,x2,?,xn)是?在Rn标准基下的坐标． 例3、证明?1?(1,0,1)T,?2?(0,1,0)T,?3?(1,2,2)T是R3的一个基，求??(1,3,0)T在此基下的坐标． ?????? 定义4 设V是m维向量空间，?1,?2,?,?m与?1,?2,?,?m是V的两组基，且： ?c11?c1m? ????????????1?2?3???1?2?3?C，其中C??????是从基?1,?2,?,?m ?c??m1?cmm? ????????? ?,?,?,??,?,?,????,?,?,?到基12m的过渡矩阵，上式?称基12m的变2m到基1 换公式． ?????? 定理 V是m维向量空间， 从基?1,?2,?,?m到基?1,?2,?,?m的过渡矩阵 ??为C，??V，?关于旧基的坐标为?x1?xm?，关于新基的坐标为 ???y1?ym?，则?y1?ym??C?1?x1?x2?，称为从旧基到新基的坐标TT 变换公式． 例4、F的一个基：?1?(0,1,1),?2?(1,0,1),?3?(1,1,0)T，求自然基3?T?T???????????Te1,e2,e3到?1,?2,?3的过渡矩阵，且求??(2,?1,3)在基?1,?2,?3下的坐标． 二、欧氏空间 引入：在三维空间中，设a?{ax,ay,az}，b?{bx,by,bz}，则： a?b?|a||b|cos?a,b??axbx?ayby?azbz（数量积） |a|?a?a?a?a?a，cos?a,b??2x2y2za?b|a||b|． 此处，将三维空间中的数量积推广到n维向量空间中，称为内积： 1、向量的内积： 1）定义：设n维实向量??(a1,a2,?,an), ??(b1,b2,?,bn), 定义?与TT?的内积(?,?)为 (?,?)?a1b1?a2b2???anbn???=??． TT [注] 此处定义的内积是标准内积，还有其它不同的内积定义． 2）性质：??(a1,a2,?,an)T, ??(b1,b2,?,bn)T, ??(c1,c2,?,cn)T 1) (?,?)?(?,?) 2) (k?,?)?k(?,?) （k为常数） 3) (???,?)?(?,?)?(?,?) 4) (?,?)?0；等号当且仅当??0时成立． [注] 以上均是数量积（内积）特有的性质． 2、欧氏空间：定义了内积的实向量空间称为欧几里得空间，简称为欧氏空间． 3、向量的长度： 1）定义：实向量?的长度（范数）定义为|?|?(?,?)． i) ??0时, |?|?0；??0时, |?|?0． ii) |k?|?k?|?| (?k?R) iii) 三角不等式：|???|?|?|?|?| 2）单位向量：若|?|?1，则称?为单位向量． 3）单位化：若|?|?1，则 ?|?|必是单位向量． 4、Cauchy-Schwarz不等式：设?是欧氏空间，??,???都有 |(?,?)|?|?||?| 5、夹角： 1）定义：设实向量??0,??0, 称 ??,???arccos(?,?)|?||?| (0????) 为?与?之间的夹角． 2）正交：若(?,?)?0, 则称?与?正交（垂直）, 记作???． i) ??0,??0时, ??????,????2；