内容发布更新时间 : 2024/12/23 20:55:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

特征向量。

当a?0时，?E?A=

??a22=?+a=(??ai)(??ai)，故A 的特征值为?1=ai，

a??2= -ai。

?aix1?ax2?0??i?当?1=ai时，方程组?的基础解系为??1??，故A 的属于特征值ai的全ax?aix?02?1??部特征向量为k?1(k?0)，其中?1=-i?1+?2。

??aix1?ax2?0?i?当?2= -ai时，方程组?的基础解系为??1??，故A 的属于特征值-ai的ax?aix?02?1??全部特征向量为 k?2 (k?0)，其中?2=i?1+?2。 3)设A在 给定基?1,?2,?3,?4下的矩阵为A，因为?E?A的特征值为?1=?2=?3?2,?4??2。

=(??2)3(??2)，故A?1??1??1????????1??0??0?当??2时,相应特征方程组的基础解系为X1???,X2???,X3???，故A 的属

010???????0??0??1???????于特征值2的全部特征向量为 k1?1+k2?2+k3?3 (k1,k2,k3不全为零)，其中?1=?1+?2，

?2=?1+?3，?3=?1+?4。

?1?????1?当???2时，特征方程组的基础解系为X4???，故A 的属于特征值-2的全部特征

?1????1???向量为 k?4 (k?0)，其中?4=?1-?2-?3??4。 4） 设A 在给定基?1,?2,?3下的矩阵为A，因

??5?6??E?A=1?1，

3?1??3?4?2?2??4=(??2)(??1?3)(??1?3)?2??1故A的特征值为?1=2，?2=1+3，?3?1-3。

??3x1?6x2?3x3?0?2????当?1=2时, 方程组?x1?2x2?x3?0的基础解系为??1?，故A 的属于特征值2

??x?2x?3x?0?0?23?1??的全部特征向量为 k?1 (k?0)，其中?1=2?1-?2。

?(?4?3)x1?6x2?3x3?0?3????当?=1+3时, 方程组?x1?(1?3)x2?x3?0的基础解系为??1?，故A

?2?3???x?2x?(2?3)x?0??123?的属于特征值1+3的全部特征向量为 k?2 (k?0)，其中?2=3?1-?2+(2?3)?3。

?(?4?3)x1?6x2?3x3?0?3????3??1当=1-时, 方程组?x1?(1?3)x2?x3?0的基础解系为??，故A

?2?3???x?2x?(2?3)x?0??123?的属于特征值1?3的全部特征向量为 k?3 (k?0)，其中?3=3?1-?2+(2?3)?3。 5) 设A 在给定基?1,?2,?3下的矩阵为A，因

?0?10=(??1)2(??1)，

?E?A=0?1??102??1,?3??1。

?0????1?，故A的属于特征值1?0???故A的特征值为?1??当?1??2?1????x1?x3?0，方程组的基础解系为?1?0?,???x1?x3?0?1???的全部特征向量为k1?1?k2?2(k1,k2不全为零)，其中?1??1??3,?2??2。

?1???x1?x3?0???当?3??1时，方程组??2x2?0的基础解系为?0?，故A的属于特征值-1的全

??x?x?0??1?3???1部特征向量为k?3(k?0)，其中?3??1??3。 6) 设A 在给定基?1,?2,?3下的矩阵为A，因

??2?1?E?A=2??3??(?2?14)=?(??14i)(??14i)，

13?故A的特征值为?1?0,?2?14i,?3??14i。

??2x2?x3?0?3????当?1?0时，方程组?2x1?3x3?0的基础解系为?1，故A的属于特征值0的全

???x?3x?0?2?2???1部特征向量为k?1(k?0)，其中?1?3?1??2?2?3。

?6?14i

?

??2?314i

当?2?14i时，该特征方程组的基础解系为?

?10??????

故A的属于特征值14i?，???

的全部特征向量为k?2(k?0)，其中?2?(6?14i)?1?(?2?314i)?2?10?3。

?6?14i?

??2?314i

当???14i时，该特征方程组的基础解系为?

?10??????

?，故A的属于特征值???

?14i的全部特征向量为k?3(k?0)，其中?3?(6?14i)?1?(?2?314i)?2?10?3。

7) 设A 在给定基?1,?2,?3下的矩阵为A，因

??3?100=(??1)(??2)，

2?E?A=4?4??182??2?1,?3??2。

故A的特征值为?1??当?1??2?3????1，该特征方程组的基础解系为??6?，故A的属于特征值1的全部特征

?20???向量为k?1(k?0)，其中?1?3?1?6?2?20?3。

?0???当?3??2，该特征方程组的基础解系为?0?，故A的属于特征值-2的全部特征向量

?1???为k?2(k?0)，其中?2??3。

20.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过度矩阵T，并验算T

?1AT。

解 已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是有n个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T。 1) 因为(?14?1,?2)?(?1,?2)????1?5?? ，所以过渡矩阵T=???14???1?5??， ???54?T?1AT=?99?????34?11??52????14???=??70??。 ?9??9?????1?5????0?2??2)当a?0时,已是对角型。

当a?0时,有(??(???ii?1,?2)1,?2)???11???，过渡矩阵T=???ii???11??，

??i1?T?1?AT=?22?1????0a???a0??????ii????11??????ai0???0?ai??。 ???i22??????1111??1113)因为(??100?1????001,?2,?3,?4)=(?1,?2,?3,?4)?010?1?，过渡矩阵T=?1???010?001?1?????001??2?T?1AT=?2????。 ?2???2????334)因为(?,??2?12,?3)=(?1,?2,?3)??1?1?1???， ?02?32?3???过渡矩阵T=?233???1?1?1??2??，T?1AT???1?3??。 ??02?32?3????1?3???101??105)因为 (?????1??1,?2,?3)=(?1,?2,3)?010?，过渡矩阵 T=?010?，

??10?1????10?1??1??1???1?，

?1???1??10?22??001??101??100?????????T?1AT??010??010??010???010?。

?00?1??11??100??10?1???????0???2??2?36?14i6?14i???6)因为 (?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)??1?2?314i?2?314i?,

???2??10?10???36?14i6?14i???即过渡矩阵为 T=??1?2?314i?2?314i?,

???2??10?10???0??1且TAT??0?0???14i0?。 0?14i??0021.在P[x]n(n>1)中,求微分变换D的特征多项式，并证明D在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵。

x2xn?1,...,解 取P[x]n的一组基1,x,，则D在此基下的矩阵为 2(n?1)!?0??0D=?...??0?0?10...000...0??1...0?.........?，

?0...1?0...0??...............0??0?...???n， ??1???????10??0??1从而?E?D??.........??000?000?故D的特征值是??0(n重)，且D的属于特征值0的特征向量?只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是1，它小于空间的维数n，故D在任一组基下的矩阵都不可能是对角形。

?142???k22.设 A=?0?34?，求A。

?043???