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第十九届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第2试

一、选择题（每小题4分，满分40分）

1．将数字“6”旋转1800，得到数字“9”；将数字“9”旋转1800，得到数字“6”；那么将两位数“69”旋转1800，得到的数字是（ ）

A、69 B、96 C、66 D、99 2．关于x,y的方程组??x?ay?1?0,有无数组解，则a,b的值为（ ）

?bx?2y?1?0A、a?0,b?0 B、a??2,b?1 C、a?2,b??1 D、a?2,b?1 3．在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB，O是坐标原点，点A的坐标是(a,b)，底边AB的中线在1、3象限的角平分线上，则点B的坐标为（ ） A、(b,a) B、(?a,?b) C、(a,?b) D、?(a,b)

4．给出两列数：（1）1，3，5，7，…，2007；（2）1，6，11，16，…，2006，则同时出现在两列数中的数的个数为（ ）

A、201 B、200 C、199 D、198

5．If one side of a triangle is 2 times of another side and it has the largest possible area, then the ratio of its three sides is ( )

A、1:2:3 B、1:1:2 C、1:3:2 D、1:2:5

（英汉小词典：possible 可能的；area面积；ratio比率、比值） 6．有面值为10元、20元、50元的人民币（每种至少一张），合计1000元，那么面值为20元的人民币有（ ）张

A、2或4 B、4 C、4或8 D、2到4之间的任意偶数

7．由1，2，3这三个数字组成四位数，在每个四位数中，这三个数字至少出现一次．这样的四位数有（ ）

E D A A、33个 B、36个 C、37个 D、39个

8．如图1，矩形ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将它折叠，使点D与点B重合，求折叠后DE的长和折痕EF的长

C B F 分别是（ ）

C′ A、5cm,10cm B、5cm,3cm

图1 y C、6cm,10cm D、5cm,4cm

N A 9．如图2，函数y?mx?4m的图象分别交x轴、y轴于点N、

B M，线段MN上两点A、B在x轴上的垂足分别为A1、B1，若

M OA1?OB1?4，则?OA1A的面积S1与?OB1B的面积S2的

O A1 B1 x 大小关系是（ ）

图2

A、S1?S2 B、S1?S2 C、S1?S2 D、不确定的

10.已知a是方程x?3x?1?0的一个实数根，则直线y?ax?1?a不经过（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

3二、填空题（每小题4分，满分40分）

32008?152008?7?11．化简：??，得到 ． 2008200837?35??12．三位数3ab的2倍等于ab8，则3ab等于 ．

13．当x?2时，化简代数式x?2x?1?14．已知f(x)?1004x?2x?1，得 ．

111，并且f(a)?0，则a等于 ． ??xx?1x?215．If the sum of a 4-digit natural number and 17,the difference between it and 72 are all square numbers ,then the 4-digit natural number is . （英汉小词典：4-digit natural number四位自然数；difference差；square numbers完全平方数）

16．将等腰三角形纸片ABC的底边BC折起，使点C落在腰上，这时纸片的不重合部分也是等腰三角形，则∠A= ．

17．将100只乒乓球放在n个盒子中，使得每个盒子中的乒乓球的上数都含有数字“8”，如当n=3时，箱子中的乒乓球的数目可以分别为8，8，84；若当n=5时，有且只有两个箱子中的乒乓球个数相同，那么各箱子中的乒乓球的个数分别是 ． 18．已知一个有序数组(a,b,c,d)，现按下列方式重新写成数组(a1,b1,c1,d1)，使

a1?a?b,b1?a?c,c1?c?d,d1?d?a，

按照这个规律继续写出(a2,b2,c2,d2)，…，(an,bn,cn,dn)，若

a?bn?cn?dn100?0n?20，则00n? ．

a?b?c?d19．如图3，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，要使最后经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为 ．

20．某条直线公路上有A1,A2,?,A11共11个车站，且 若A1A11?56km，则A10A11?A2A7? km．

y B O A 图3

x AiAi?2?12km(i?1,2,3,?,9),AiAi?3?17km(i?1,2,3,?,8)，

三、解答题（共3个小题，满分40分）

21．（本题满分10分）如图，在Rt?ABC中，?ACB?90，AC=BC=10，CD是射线，

0?BCF?600，点D在AB上，AF、BE分别垂直于CD（或延长线）于F、E，求EF的长．

A F D E

22．（本题满分15分）在平面直角坐标系中，ΔABC满足：∠C=900，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C随着在y轴上运动．

（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB； （2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；

（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件 y B

C

O A 23．（本题满分15分）已知m,n(m?n)是正整数． （1）若3与3的末位数字相同，求m?n的最小值； （2）若3与3的末两位数字都相同，求m?n的最小值；

mnx mn第十九届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案与评分标准

初二 第2试