内容发布更新时间 : 2024/5/18 10:49:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二章部分习题解答
1 ?试证下列函数在7平面上任何点都不解析。
(2) /(z) = Rezo
du (1)
dx
色=1色=0空=o 勿’金 >
,知1爪)在刁平面上任何点都不解析。
du du _ dx , 5y dx dy
(1)旳“+的
_
知/(z)在z平面上任何点都不解析。
2.下列函数何处可导？何处解析?
解 (1)由于
OX
在Z平面上处处连续，且当且仅当 沪0时，6 才满足C~R条件，故
22f(z) = xy+ixy仅在点“0处可导，在？平面处处不解析。
3?证明：如果函数/()=
常数。
zw + /v
在区域D内解析，并满足下列条件之一，那么/⑴ 是
仃)在。内广^ °； ⑵雨在D内解析。
=
⑶\(z)l在D内是一个常数。
解(1)的证明由于/⑵P+必丸，故由引理得纵\C.R条件 即有亏9 = 于是讥乙刃、风兀丿)恒为常数，即/⑵在D内恒为常数。
(2)若7U) = ^ = u-iv在区域D内解析，贝I」
du _ d(- v) _ dv dx dy dy ? dy dx dx
又f(z) = u^iv在区域D内解析，贝IJ
_ d(— v) _ Su
du dv du dv
—=— —— --------- dx dy, dy dx
结合(1)、(2)两式，有
du _ du _dv _dv dx dy dx vy
故以在〃内均为常数，分別记之为
均=C19u2=C2(Cl9C2为实常数), 则 /(Z) = M
+ ,V=C] +iC2 =C 为一复常数。
(3)若1%)1在D内为一常数，记为G,则两边分别对于x和y求 偏导，得2 2 ox+ V V 2 2 ay 5V-axav一一加加 - ￥一o O + 一由于/C)在〃内解析，满足C-R条件
du dv du dv I
I
■
I
■
, dx dy? dx 代入上式又可写得
du
u---- 加￥ o O dx 加￥- = v——du + dx
Sv ——dv c=——
=U
同理，可解得％ 巧 故均为常数，分别记为
U = C^V = C29 则 /(z) = u + iv=C{+iC2=C 为一复常数。
4.如果/(z) = u + W是一解析函数，试证:也是解析函数。
(1)/(z) = w + iv，7(z) = w-iv, i70=v + iw
\\J^=v-\%u = -\\ (w + iv) = -i/(z)
可知i血为一解析函数。
5 ?证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是
du 1 dv dv _ 1 du dr~ rdO , dr ~ r dO
证 令龙=“歸,\用2,利用复合函数求导法则和\「满足C-R条件，得
du du 八 du .
——=——cos& +——sin& dr dx dy dv dv 少诚略z詈讪+豊w嗨
dO
du 1 dv 即 dr r d3 0 乂
du 空(—厂sin&)+包厂cos& 60 dx
dv dv 门 dv .小
du j
dr ——
dx ——Qy
sin。 ----- COS&
1
du _ du .八1 du
r —4, rcosO ' -- dxrsm0 rdO
总之，有
W(x+iy)2
x -y +i2xv 2 2
e
1 dv
dv
1 du dr r 50 ,
~r~de Q
I
」_2z I
(1)2 1
d~2z |_| ^-2x-nxy |_| w_2x+i(l_2)y
解 （1）
(2)
(3)
Re{e7}
1 Re0+b'} = R& 2 2 护、+y >
=Re
X 2 2?> ex =y 宀+y2
y ? ? cos __ -ism 9
+ y
9
乂_ + y-
= e'^ cos
+y2x +y r > ,
f
(2) cosz = cosz ；
(3) sinz = sinz
vl v
z7.下列关系是否正确？ (1) e
z(1)
e - e(cosy + isiny) = ^' (cos^-isiny) = e\ =e
― ------ —\\
?
v
cosz =
宀严
_2-
= cosz
(3)
士…)
8 ?试证：对任意的复数z及整数加有
证 对任意的复数z,当税为自然数时,
当m = -讹为自然数）
时,
9.找出下列方程的全部解。
(2) sinz + cos z = 0 (1) 1+占=0；
解（1）原方程等价于i,于是它的解为:
z = Ln(-l) = ln|-l | +i[arg(-1) + 2/CTT] = i^-(1 + 2Z:) k = 0,±l,±2,?… （2）由于
1Z -\\z
? e 2i
z =
I?(7TT) i?
Ln=Ln(_i)=
[ln|-i|+i(arg(-i)+2^)] ii
1 (上+ 2炽 =k-丄卜北=0,±1,±2,??
2i ? —e
sinz = -cos,
io.设z = d,试证
Re[l n(z -1)] =—1 n(l 4-r2 - 2厂cos&)
由于
ln(z-l) = In(厂# 一1)= In(厂cos& + i 厂sin&-l)
=In J(厂 cosO —1)2 + 尸 sirf2 0 + i arg(rcos^-1 + i 厂 sin。) =—ln(r2 +1 - 2r cos^)+ i arg(r cos^ -1 + i r sin^) Rc[ln(z 一 1)] = —ln(l+r2 - 2rcos/2)
求3'和(1 + i)*的值。
11.
解:
i[ln 3+i(arg34-2^)] _ 一2炽 iln3 ￡ =幺 幺
3 之 53
e~
2k7r
1
(cosln3 + i sinln3), k = 0,±l,±2,…
_ ^Ln(l+i) _ ^i[ln|l+i|]+i(arg(l+i)+2^)
(ln2 . . In2) cos ----- + isin ------ I 2 2 )
k — 0,±1,±2,??-
12?若函数/(Z)在上半z平面内解析，试证函数雨在下半z平面内解析。 证1对
于任意的下半z平面上的一点z。则点无是上半z平面上的点，
/(z) = u(x, y) + i v(x, y\\