内容发布更新时间 : 2025/1/1 8:28:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
2.1 综合法
学 习 目 标 核 心 素 养 1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，1．了解综合法的思考过程、特点．(重点) 培养逻辑推理的核心素养． 2．会用综合法证明数学命题．(难点) 2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.
1．综合法的定义
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．
2．综合法证明的思维过程
用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：
P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q
思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？ [提示] 综合法是由因导果的顺推思维．
1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的( ) A．充分条件 C．充要条件 [答案] B
2．在△ABC中，若sin Asin B B．锐角三角形 D．等边三角形 B．必要条件 D．既不充分又不必要条件 C [由条件可知cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C>0，即cos C<0，∴C为钝角，故△ABC一定是钝角三角形．] 3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了________的证明方法． 综合法 [证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．] ＋(2c－b)sin C. (1)求证：A的大小为60°； 用综合法证明三角问题 【例1】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B(2)若sin B＋sin C＝3.证明：△ABC为等边三角形． 思路探究：(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A. (2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明A＝B＝C＝60°. [证明] (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a＝(2b－c)b＋(2c－b)c， 即bc＝b＋c－a， 2 2 2 2 b2＋c2－a21所以cos A＝＝， 2bc2 所以A＝60°. (2)由A＋B＋C＝180°，得B＋C＝120°， 由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3， sin B＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 33 sin B＋cos B＝3， 22即sin(B＋30°)＝1． 因为0° 证明三角等式的主要依据 1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． 2．和、差、倍角的三角函数公式． 3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理． 4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式． 1．若sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β. [证明] ∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列， ∴sin θ＋cos θ＝2sin α ① 又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列， ∴sin β＝sin θcos θ 2 2 2 2 ② 将②代入①，得1＋2sin β＝4sin α， 1－cos 2β1－cos 2α22 又sin β＝，sin α＝， 22∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α， 即2cos 2α＝cos 2β. 证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD. 用综合法证明几何问题 【例2】 如图，在四面体B-ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，E，F分别是AB，BD的中点．求 思路探究：(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD，只需在平面ACD内找出一条直线和直线EF平行即可； (2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可． [证明] (1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥AD，又EF平面ACD，AD平面ACD，所以直线EF∥平面ACD. (2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD. 因为CB＝CD，F是BD的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC. 因为BD平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD. 证明空间位置关系的一般模式 本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把