内容发布更新时间 : 2024/5/12 6:33:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第3讲 平面向量

高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.

真 题 感 悟

1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A.4

B.3

2

C.2 D.0

解析 a·(2a－b)＝2a－a·b＝2－(－1)＝3，故选B. 答案 B

π

2.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，

3向量b满足b－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( ) A.3－1

B.3＋1

C.2

D.2－3

2

→→2

解析 法一 设O为坐标原点，a＝OA，b＝OB＝(x，y)，e＝(1，0)，由b－4e·b＋3＝0得x＋y－4x＋3＝0，即(x－2)＋y＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)π

为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线

3

2

2

2

2

y＝3x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|CA|－|CB|＝3－1.

故选A.

法二 由b－4e·b＋3＝0得b－4e·b＋3e＝(b－e)·(b－3e)＝0. →→→→→→→

设b＝OB，e＝OE，3e＝OF，所以b－e＝EB，b－3e＝FB，所以EB·FB＝0，→

取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图，设a＝OA，π

作射线OA，使得∠AOE＝，所以

3

→→

|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|CA|－|BC|≥3－1. 故选A. 答案 A

→→→→→

3.(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，→→

且AD·AE＝－4，则λ的值为________.

1

2

2

2

→→

→→→1→2→→→?1→2→?→→

解析 AB·AC＝3×2×cos 60°＝3，AD＝AB＋AC，则AD·AE＝?AB＋AC?·(λAC－AB)

3?33?3λ－2→→1→22λ→2λ－2122λ1132

＝AB·AC－AB＋AC＝×3－×3＋×2＝λ－5＝－4，解得λ＝. 333333311答案

3

11

4.(2016·浙江卷)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________. 解析 法一 由已知可得：

6≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|， 由于上式对任意单位向量e都成立. ∴6≥|a＋b|成立.

∴6≥(a＋b)＝a＋b＋2a·b＝1＋2＋2a·b， 1

即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.

2

法二 由题意，令e＝(1，0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤6可得|cos α|＋2|cos β|

≤6 ①.令sin α＋2sin β＝m ②，①＋②得4(|cos α cos β|＋sin αsin β)≤1＋m对一切实数α，β恒成立，所以4(|cos αcos β|＋sin αsin β)≤1. 1故a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2(|cos αcos β|＋sin αsin β)≤.

21答案

2

考 点 整 合

1.平面向量的两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b(2)a⊥b2

2

2

2

2

2

2

2

a＝λbx1y2－x2y1＝0. a·b＝

x1x2＋y1y2＝0.

3.平面向量的三个性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x＋y. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，

22 2

则|AB|＝（x2－x1）＋（y2－y1）.

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

22

a·bx1x2＋y1y2

则cos θ＝＝2222.

|a||b|x1＋y1x2＋y2

4.平面向量的三个锦囊

→→

(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是OP＝λ1OA＋→

λ2OB(其中λ1＋λ2＝1).

→→→→

(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量OP与向量OA，OB的关系是OP1→→＝(OA＋OB). 2

→→→

(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心GA＋GB＋GC＝0

G?

?xA＋xB＋xC，yA＋yB＋yC? ?33??

热点一 平面向量的有关运算 [考法1] 平面向量的线性运算

→

【例1－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( ) 3→1→A.AB－AC 443→1→C.AB＋AC 44

1→3→

B.AB－AC 441→3→D.AB＋AC 44

(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC→→

＝λDF.若AE·AF＝1，则λ的值为________.

→→→1→1→1

解析 (1)法一 如图所示，EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×

2221→→1→→3→1→

(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC，故选A. 2244

3→1→→→→→1→→11→→

法二 EB＝AB－AE＝AB－AD＝AB－×(AB＋AC)＝AB－AC，故选A.

22244→→→→1→→→→→1→→1→

(2)法一 如图，AE＝AB＋BE＝AB＋BC，AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝BC＋AB，

3λλ→→

所以AE·AF

3