2017-2018版高中数学 第1章 导数及其应用学案 苏教版选修2-2 下载本文

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第1章 导数及其应用

1 变化率与导数

1.变化率

Δyf函数的平均变化率为=Δxx2-fx1

,它是用来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化快

x2-x1

慢的量.式中Δx,Δy的值可正、可负,当函数f(x)为常数函数时,Δy的值为0,但Δx不能为0.当Δx趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率.

例1 甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,试比较两人在时间段[0,t0]内的平均速度哪个大?

解 比较在相同的时间段[0,t0]内,两人速度的平均变化率的大小便知结果. 在t0处,s1(t0)=s2(t0),s1(0)>s2(0), 所以

s1t0-s1

t0

<

s2t0-s2

t0

. 所以在时间段[0,t0]内乙的平均速度比甲的大.

点评 比较两人的平均速度的大小,其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小.

2.导数的概念及其几何意义

函数y=f(x)在x=x0处的导数即为函数y=f(x)在x0处的瞬时变化率,即当Δx趋于0时,Δyfx0+Δx-f函数值y关于x的平均变化率=ΔxΔxx0

的极限值;Δx无限趋近于0,是

指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小,但始终不能为零.

函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即f′(x0)=k=tan α,因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中,只要已知其中一个量,就可以求出另一个量.

例2 如图所示,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f[f(0)]=________;

lim Δx→0

f+Δx-fΔx=________.(用数字作答)

解析 由A(0,4),B(2,0)可得线段AB的方程为f(x)=-2x+4(0≤x≤2). 同理线段BC的方程为f(x)=x-2(2

??-2x+4,0≤x≤2,

所以f(x)=?

??x-2,2

所以f(0)=4,f[f(0)]=f(4)=2, lim Δx→0

f+Δx-fΔx=f′(1)=-2.

答案 2 -2

例3 函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是( )

A.0

解析 根据导数的几何意义,考查函数在点B(2,f(2))及A(3,f(3))处的切线的斜率.

由图可见,过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率,则有0

由图,可知0

点评 本题通过导数的定义反过来对变化率进行了考查.

通过上述三例可以看出,变化率是一个十分重要的概念,它是连接初等数学与导数的一个桥梁,学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫.

2 函数单调性的多方妙用

1.根据函数的单调性求解参数问题

f-f3-2

=f(3)-f(2),其几何意义为割线AB的

2

例1 已知f(x)=ax+bx+cx在区间(0,1)上是增函数,在区间(-∞,0)和(1,+∞)上

32

?1?3

是减函数,且f′??=,求a,b,c的值.

?2?2

解 f′(x)=3ax+2bx+c.

由于f(x)在区间(0,1)上是增函数,在区间(-∞,0)和(1,+∞)上是减函数,所以f′(0)=f′(1)=0.

2

c=0,??3a+2b+c=0,1?3?又f′??=,所以??2?233a+b+c=.??42

a=-2,??

解得?b=3,

??c=0.

点评 由于此题给出了函数定义域范围内的所有单调区间,在这种条件下一般都可以分析出函数的极值点,通常情况下单调区间的端点就是极值点,再根据已知函数极值求解参数问题的方法进行解答.

例2 已知函数f(x)=x+(x≠0,常数a∈R).若函数f(x)在[2,+∞)上是单调递增的,求a的取值范围.

2

axa2x3-a解 f′(x)=2x-2=2.

xx要使f(x)在[2,+∞)上是单调递增的,

则f′(x)≥0在x∈[2,+∞)时恒成立,且在[2,+∞)上任何子区间上不恒为零, 2x-a即2≥0在x∈[2,+∞)时恒成立.

3

x∵x>0,∴2x-a≥0,

∴a≤2x在x∈[2,+∞)上恒成立. ∴a≤(2x)min.

∵x∈[2,+∞),y=2x是单调递增的, ∴(2x)min=16,∴a≤16.

2x-16

当a≤16时,f′(x)=≥0(x∈[2,+∞))有且只有f′(2)=0,∴a的取值范围是2

3

3

3

33

23

xa≤16.

点评 已知函数单调性求参数的取值范围,可转化为不等式恒成立问题.一般地,函数f(x)在区间I上单调递增

(递减)等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立,且在I的任何子区间上不恒为零,然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围,并验证f′(x)=0是否有有限个解.

3