内容发布更新时间 : 2025/4/6 14:50:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第3讲 导数的简单应用
年份 卷别 卷Ⅰ 2018 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 2017 卷Ⅱ 卷Ⅰ 考查内容及考题位置 函数的奇偶性、导数的几何意义·T5 导数的几何意义·T13 导数的几何意义·T14 命题分析 1.高考对导数的几何意义的考查,多在选择、填空题中出现,难度较小,有时出现在解答题利用导数讨论函数的单调性、函数的的第一问. 零点·T21 利用导数求极值·T11 导数与函数图象·T7 2.高考重点考查导数的应用,即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题,多在选函数的奇偶性、导数的几何意义·T15 择、填空题的后几题中出现,难度中等,有时出现在解答题2016 的第一问. 卷Ⅲ 利用导数公式直接求导·T21(1) 3.近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少,题目一般比较简单,但也不能忽略.
导数的运算及其几何意义(综合型)
导数的几何意义
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).
4个易误导数公式 (1)(sin x)′=cos x. (2)(cos x)′=-sin x.
(3)(ax)′=axln a(a>0且a≠1). (4)(loga x)′=
1
(a>0且a≠1). xln a
[典型例题]
ππ
(1)若曲线f(x)=xsin x+1在点?,+1?处的切线与直线ax-2y+1=0互相垂直,则实数a=( )
?22?A.-2 C.1
B.2 D.-1
1
(2)直线l与曲线y=ex及y=-x2都相切,则直线l的方程为________.
4【解析】 (1)因为f(x)=xsin x+1, 所以f′(x)=sin x+xcos x, ππππ
所以f′??=sin +cos =1.
222?2?a
因为直线ax-2y+1=0的斜率为,
2πa
所以f′??×=-1,
?2?2解得a=-2,故选A.
x2121?(2)设直线l与曲线y=e的切点为(x0,e),直线l与曲线y=-x的切点为?x1,-4??, 4
x
x0
x2x21??-x??因为y=e在点(x0,e)处的切线的斜率为y′|x=x0=e,y=-在点?x1,-4?处的切线的斜率为y′|=??2??4x=x
x
x0
x0
1
x1=-,
2x=x
1
11则直线l的方程可表示为y=ex-x0e+e或y=-x1x+x2,所以
241
x0
x0
x0
?
??-xe
0
x1e x0=-,
2
2x1 x0
+e x0=,4
所以ex0=1-x0,解得x0=0.所以直线l的方程为y=x+1. 【答案】 (1)A (2)y=x+1
(1)求曲线y=f(x)的切线方程的3种类型及方法 ①已知切点P(x0,y0),求切线方程
求出切线的斜率f′(x0),由点斜式写出方程. ②已知切线的斜率k,求切线方程
设切点P(x0,y0),通过方程k=f′(x0)解得x0,再由点斜式写出方程. ③已知切线上一点(非切点),求切线方程
设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f′(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.
(2)两曲线f(x),g(x)的公切线l的方程的求解关键
①设点求切线,即分别设出两曲线的切点的坐标(x0,f(x0)),(x1,g(x1)),并分别求出两曲线的切线方程. ②建立方程组,即利用两曲线的切线重合,则两切线的斜率及在y轴上的截距都分别相等,得到关于参数x0,x1的方程组,解方程组,求出参数x0,x1的值.
③求切线方程,把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可.
[对点训练]
1.(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2x C.y=2x
B.y=-x D.y=x
解析:选D.法一:因为函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以(-x)3+(a-1)(-x)2+a(-x)=-[x3+(a-1)·x2+ax],所以2(a-1)x2=0,因为x∈R,所以a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.
法二:因为函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f(-1)+f(1)=0,所以-1+a-1-a+(1+a-1+a)=0,解得a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.
2.(2018·合肥第一次质量检测)已知直线2x-y+1=0与曲线y=aex+x相切(其中e为自然对数的底数),则实数a的值是( )
1A. 2C.2
B.1 D.e
解析:选B.由题意知y′=aex+1=2,则a>0,x=-ln a,代入曲线方程得y=1-ln a,所以切线方程为y-(1-ln a)=2(x+ln a),即y=2x+ln a+1=2x+1?a=1.
利用导数研究函数的单调性(综合型)
导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常数,函数不具有单调性.
[典型例题]
命题角度一 求函数的单调区间或判断函数的单调性
ax2+x
已知函数f(x)=ln(x+1)-,且1 (x+1)2x(x-2a+3) 【解】 函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f′(x)=,x>-1. (x+1)33 ①当-1<2a-3<0,即1 2 当-1 3 ②当2a-3=0,即a=时,f′(x)≥0,则f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 2