内容发布更新时间 : 2024/6/2 22:16:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§1.5 一般物体的平衡

力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零(?F外?0)和合力矩为零(?M?0)同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为

?F?F?FMx,My,Mzyx?0?Mx?0

?0?My?0?0?Mz?0z

分别为对x轴、y轴、z轴的力矩。

由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。

如平面力系（设在xOy平面内），则?足，则独立的平衡方程为：

Fx?0,?Mx?0,?My?0自动满

?F?F?Mzx?0?0?0

?F?0yz这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的

力的力臂为零。

平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为三个。

§1.6 平衡的稳定性

1．6．1、重心

?g物体的重心即重力的作用点。在重力加速度为常矢量的区域，物体的重心

是惟一的（我们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。

求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。相距L，质量分别为m1,m2的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且m1,m2与相距分别为：

O X A C G3 P R B x1xG1 x3x2G2 (m1?m2)L1?m2L?0 (m1?m2)L2?m1L?0

L1?m2Lm1LL2?m1?m2 m1?m2

图1-6-1

均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。

物体重心（或质心）位置的求法

我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。如图1-6-1由重量分别为G1,G2的两均匀圆球和重量为G3的均匀杆连成的系统，设立如图坐标系，原点取在A球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为x1,x2,x3，系统重心在P点，我们现在求其坐标x。设想在P处给一支持力R，令R?G1?G2?G3达到平衡时有：

?M?Gxx?∴

11?G2x2?G3x3?Rx?0

G1x1?G2x2?G3x3G1x1?G2x2?G3x3?RG1?G2?G3

这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统，我们

不难证明其重心位置为：

?Gixi??x??Gi??Giy??y???Gi??Giz?z???Gi?

一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置公式：

?mixi??x??mi??miyi???y??mi??mz?z??ii??mi?P l 图1-6-2

如图1-6-2，有5个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至

右其密度分别为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ，设每根棒长均为l，求其质心位置，若为n段，密度仍如上递增，质心位置又在什么地方？

解：设整个棒重心离最左端距离为x，则由求质心公式有

mx?x??miii?m1x1?m2x2???m5x5m1?m2???m5

92?v??1.1?v?l?1.2?v?l?1.3?v?l?1.4?v?l?l2357222?v?1.1?v?1.2?v?1.3?v?1.4?b

?2.67l

若为n段，按上式递推得：