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第二十九讲 图形的平移与旋转
前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．
几何变换是指把一个几何图形Fl变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换． 如图1，若把平面图形Fl上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．
平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．
如图2，若把平面图Fl绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由Fl到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．
旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．
通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．
注 合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变． 例题求解
【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD= ．
思路点拨 通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形．
【例2】 如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN= x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变
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思路点拨 把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、x、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．
注 下列情形，常实施旋转变换：
(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；
(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；
(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
【例3】 如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED—AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．
(第4届全俄数学奥林匹克竞赛题)
思路点拨 设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．
注 平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．
【例4】 如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1． (西安市竞赛题)
思路点拨 本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中．
注 三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识： (1)两点间线段最短，垂线段最短；
(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
【例5】 如图，等边△ABC的边长为a?25?123，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的长． (“希望杯”邀请赛试题)
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思路点拨 题设条件满足勾股关系PA2+PB2＝PC2的三边PA、PB、PC不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键．
学历训练
1．如图，P是正方形ABCD内一点，现将△ABP绕点B顾时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ．
2．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB=8，PC＝10，则∠APB ．
（第1题） （第2题） （第3题）
3．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，则CD的长为 ． 4．如图，把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( )
12 C．l D． (2002年荆州市中考题)
225．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边
A．2?1 B．
PE、PF分别交AB、AC于点C、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=
1S△ABC；④EF=AP． 2当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有( )
A．1个 B．2个 C ．3个 D．4个. (2003年江苏省苏州市中考题)
（第4题） （第5题） （第6题） 6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四边形ABCDd=8，则BE的长为( )
A．2 B．3 C．3 D．22 (2004年武汉市选拔赛试题)
7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小
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