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高等数值分析 课程试题

（2004—2005学年第二学期）

题号 1 分数

1、（10分）设In?2 3 14 5 6 7 8 9 10 总 分 ?0验证I1?1?e?1,In?1?nIn?1。 xnex?1dx,n?0,1,...，

?1（1）使证明，若已知e的近似值，按上述递推公式计算I1,I2,...,In的近似值，其误差是逐次递增的； （2）使建立一种递推公式，使得按该递推公式计算，其误差是逐次递增的。 2、（15分）设x0,x1,...,xn为相异的节点，li(x)为Lagrange插值基多项式。试证明 （1）

?xl(x)?xkiii?0nk,k?0,1,...,n；

n（2）设y(x)是m次多项式，Pn(x)是以??xi,y(xi)??i?0为插值数据点的n次插值多项式，则当m?n时，Pn(x)?y(x)；

（3）设Pn(x)为任意一个首项系数为1的n+1次多项式，则 P(x)??P(x)l(x)??(x)，

iii?0n其中?(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)。 3、（10分）证明函数

?x3, s(x)???0,是一个三次样条函数。

?x?0 x?04、（15分）（1）已知?Tn(x)?n?0是切比雪夫多项式序列，其中

Tn(x)?cos(narccosx),x?1。证明：

Tn?1(x)?2xTn(x)?Tn?1(x)；

（2）设f(x)?x4?3x3?1，在??1,1?上求f(x)的三次最佳逼近多项式。 5、（10分）确定下面求积公式中的系数，使其代数精度尽量高，并指出所构造出的求积公式所具有的代数精度：

?h?hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)。

6、（10分）已知初值问题

?dy??ax?b ?dx，

??y(0)?0有精确解y(x)?整体截断误差为

?n?y(xn)?yn?a2x?bx，求证用Euler法以h为步长所的近似解yn的21ahxn 237、（10分）应用Newton法于方程x?a?0，导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛速度。

8、（10分）设A是非奇异距阵，Ax?b?0, 且A(x??x)?b??x，证明：

?xx?A?1A?bb。

9、（10分）设方程组 ?迭代公式为

?a11x1?a12x2?b1?a21x1?a22x2?b2a11a22?0

1?(k)(k?1)x?(b?ax)11122??a11 ?1(k)?x2?(b2?a21x1(k?1))?a22?k?1,2,...,

证明：由上述迭代公式产生的向量序列x(k)收敛的充分必要条件是 r???a12a21?1。

a11a22