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高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟 Advanced Assessment for Admission（AAA）

数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中

只有一项是符合题目要求的。

1． 已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(PB?PA)(PB?PA?2PC)?0，则△ABC一定为( )

A．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形 2．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO

的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为______

A.

7

B.

72 C. 3 D.3

23.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四

面体，则所作四面体的体积为______

A.1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n?1中的任意一个数。如果初始时显示20xx，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是

A . B. 5．已知?,??R，直线

C. D.

xyxy??1与??1

sin??sin?sin??cos?cos??sin?cos??cos?的交点在直线y??x上，则sin??cos??sin??cos?? 。

A.0 B.1. C-1 D.2 6．设f(x)?111??1?2lgx1?4lgx1?8lgx，则f(x)?f()?_________。

1xA 1 B 2 C 3 D 4 7． 已知cos4??1，则sin4??cos4?? ．

5A 4/5 B 3/5 C1 D -4/5 8．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD?A?B?C?D?中，AB?1，AA??2，则A，C两点间的球面距离为（ ） A．?

?

B．?

? C．

2? 4 D．2? 29. 在平面直角坐标系内，将适合x?y,x?3,y?3,且使关于t的方程

2(x3?y3)t4?(3x?y)t?1?x?y0没有实数根的点(x,y)所成的集合记为N，则由点集

N所成区域的面积为 。

A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/5

10. A

x2y2已知椭圆??1的左、右焦点分别为

43F1、F2，过椭圆的右焦点作一条 D

直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是 ．

B

C

二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一．设f(x)?x2?bx?c(b,c?R)．若x≥2时，f(x)≥0，且f(x)在区间?2,3?上的最大值为1，求b2?c2的最大值和最小值． 二、已知椭圆

x2y2C：2?2?1（a?b?0），其离心率为4ab52，两准线之间的距离为25。（1）

求a,b之值；

（2）设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺

时针方向排列），求P点的轨迹方程。

三.（本小题满分25分）已知数列{an}中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2－（3k+2k）x+3k×2 k =0的两个根. （1）求数列{an}的前2n项和S2n. （2）记

16f（n）=12f(2)（-1）|sinn|（+3），Tn=

a1a2sinnf(3)f(4)（-1）（-1）++a3a4a5a6f(n?1)（-1）+…+

a2n?1a2n，求证：

5≤Tn≤24（n∈N+）

四、已知椭圆

x2y2?2?1 2ab过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线y?x2?e2?1 3的交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足

时，求实数m的取值范围。

五、已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为1，某

3植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果

相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设?表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值 （1）求随机变量?的数学期望E?；

（2）记“关于x的不等式?x2??x?1?0的解集是实数集R”为事件A，求事

件A发生的概率P（A）。

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答案及详解

1． 解：因为PB?PA?AB,PB?PA?2PC?CB?CA，所以已知条件可改写为AB?(CB?CA)?0。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。 2． 解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0),S(0,0,P(x,y,0).于是有

3), M(0,0,3)，233AM?(0,1,M)?P,x?(y,).⊥MP，所以由,于AM

22333(0,1,)?(x,y,?)?0，即y?，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内

224

37的长度为21?()2?。 因此 选 B。

423. B 4.. 答：

1106

若计算器上显示n的时候按下按键，因此时共有1~n?1共n种选择，所以