内容发布更新时间 : 2024/5/20 21:51:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
矩阵基础知识
贺国宏 编
为了学好测绘工程专业的核心课程〈测量平差基础〉，必须掌握以下所述矩阵的基础知识，同时，学习这些知识，对于学习测绘工程的其它课程，以及以后的深造，都是重要的。
1、矩阵的秩
定义：矩阵A的最大线性无关的行(列)向量的个数r，称为矩阵A的行(列)秩。由于矩阵的行秩等于列秩，故统称为矩阵的秩，记为R(A)。
对于矩阵的秩有性质：
R(AB)?min?R(A),R(B)?
(1)
2、矩阵的迹
定义：方阵A的主对角元素之和称为该方阵的迹，记为
tr(A)??aii
i?1n (2)
对于矩阵的迹有下面的性质：
(1) tr (AT)=tr (A) (2) tr (A+B)=tr (A)+tr (B) (3) tr (kA)=k tr (A) (4) tr (AB)=tr (BA)
(3) (4) (5) (6)
3、矩阵的特征值和特征向量
定义：对于n阶方阵A，若存在非零向量χ，使得
Ax??x
(7)
则称常数?为矩阵A的特征值(或特征根)，而χ称为矩阵A属于特征值?的特征向量。 由此可得
(?E?A)χ?0
(8)
因此，该齐次线性方程有非零解的条件是
f(?)??E?A??n?an?1?n?1???a1??a0?0
(9)
称?E-A为矩阵A的特征矩阵，而f(?)为矩阵A的特征多项式。显然，矩阵A的特征根
?i(i?1,2,?,n)为特征方程(9)的根。
应该指出，对于一般的实矩阵A，特征根可能是复数，从而特征向量也是复数。以后将会看
到，对于实对称矩阵，其特征根和特征向量都是实的。这一点是很重要的。特征值和特征向量具有下列性质：
1
(1) 设?1,?2,?,?n为n阶方阵A的n个特征值，则：
AK的特征值为?1,?2,?,?n
?1?1?1A-1的特征值为?1,?2,?,?n
kkk(2) tr (A)=?1??2????n A??1??2??n
(3) 矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
?,χm。 [证] 设A的互不相同的特征值为?1,?2,?,?m,其对应的特征向量分别为χ1,χ2，?,χk线性无关，考虑k+1的对m作归纳法，当m=1，因χ1?0，结论显然成立。设χ1,χ2，情况：设
a1χ1?a2χ2???akχk?ak?1χk?1? 则
A(a1χ1?a2χ2???akχk?ak?1χk?1)
=a1?1χ1?a2?2χ2???ak?kχk?ak?1?k?1χk?1?0
(b)
0
(a)
（a）??k?1?(b)得： a1(?k?1??1)χ1+a2(?k?1??2)χ2+…ak(?k?1??k)χk= 0
由于χ1,χ2,?,χk线性无关，故
ai(?k?1??i)?0
必有 ai?0 ,代入(a)得
由于xk?1i?1,2,?,k
ak?1χk?1?0
?0，则ak?1?0，故a1,a2,?,ak?1全等于0，从而χ1,χ2,?,χk?1线性无关。
4、等价矩阵(或相抵矩阵)
定义：若矩阵A经过有限次的初等变换化为矩阵B，就称矩阵A与B等价或称A与B相抵,
记为A~B。
按定义是说，若
Pmpm-1…P1AQ1Q2…Qn=B
式中P1，P2，…，Pm；Q1，Q2，…，Qn，是初等矩阵, 则称A~B。上式可简写为
PAQ=B (10)
因此，此定义又可改为，若存在满秩方阵P和Q，使PAQ=B，则称A~B。
对于等价矩阵有下述性质： (1) 若A~B，则R(A)=R(B) (2) 若A为可逆阵，则A~E
(3) 对于m×n阶矩阵A，若R(A)=r，则存在可逆阵Pm×m和Qn×n，使
2
PAQ=??Er?00? ?0? (11)
(4) 若A和B同阶，且R(A)=R(B)，则A~B
[证]：由(3)，存在可逆阵P1，Q1；P2，Q2使
P1AQ1=??Er?0?10??Er PBQ= 22??0??0?10? ?0?故P1AQ1 =P2BQ2，即P2P1AQ1Q2=B, 改写为PAQ=B，即A~B。
5、满秩矩阵
定义：若n阶方阵A的秩R(A)=n，则称A为满秩方阵。若m×n阶矩阵A的秩R(A)=m，称A
为行满秩阵；若R(A)=n，则称A为列满秩阵。
对于任意一m×n阶矩阵A，若R(A)=r，则A可分解为
m?nA?R?S (12)
m?rr?n其中，R为列满秩阵，S是行满秩阵。这种分解不是唯一的。
[证]：由(11), 存在可逆阵Pm×m和Qn×n，使
?ErPAQ=??0-1
0? 0??0?-1
Q= R?n?r0??Er改写为 A=P ?
?0
?R1?r??Er0??r?n? = RS
o??S1?????E???S?6、幂等矩阵
定义：称满足条件 A2=AA=A 的方阵A为幂等矩阵。
幂等矩阵有下述重要性质：
(1) 幂等矩阵A的特征值为0或1。
[证]：设λ为A的相应于特征向量为χ的特征根， 则由Aχ??χ, 得
???Aχ?AAχ??Aχ??2χ
由此 ?(??1)χ?0, 故必有
??0或??1
(2) 幂等矩阵A的秩，等于它的迹，即
R(A)=tr(A) (13)
[证]：设R(A)=r，由(12)
A=RS
其中，R、S分别为列满秩阵和行满秩阵。由A2=A，得
RSRS=RS T-1T
两边左乘(RR)R，右乘ST(SS T) -1得，
(RTR)-1RTRSRSST(SS T) -1=(RTR)-1RTRSST(SS T) -1
即 SR= Er 又因为
3