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2017-2018学年温州中学奥赛总结评估

{ M A T H E M A T I C S } （模拟）

（本卷满分：150 分 考试时间：120 分钟）

一、填空题（共10小题，每题7分，计70分）．

?1?x?1，x????，2??1. 设函数f?x???1，则函数F?x??xf?x??1的零点个数

????f?x?2?，x??2，?2为 ．

x2y22. 已知双曲线C：2?2?1?a?0，b?0?，F1，F2分别为C的左右焦点．P为

ab?C右支上一点，且使?F1PF2=，又?F1PF2的面积为33a2．设A为C的左顶

3点，Q为第一象限内C上的任意一点，若存在常数????0?，使得

?QF2A=??QAF2恒成立，则?的值为 ． 3. 某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示： x 0.021 0.27 1.5 lgx2.8 2a?b?c?3⑴ 6a?3b?2⑵ 3a?b?c⑶ 1?2a?2b?c⑷ 3 2a?b⑸ 8 5 6 7 2(a?c)⑻ x lgxa?c⑹ 9 1?a?b?c⑺ 14 x lgx3?3a?3c⑼ 4a?2b⑽ 1?a?2b⑾ / 4. 5. 6. 7.

现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，则出错的数据是 ． 设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值为 ．

已知三棱锥A?BCD，DA，DB，DC两两垂直，且 ?DAB??BAC??CAD ?90?，则二面角A?BC?D的余弦值的最大值为 ．

设?为正实数，若存在实数a，b???a?b?2??，使得sin?a?sin?b?2，则?的取值范围为 ．

正2015边形A1A2???A2015内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点Ai、Aj，

OAi?OAj?1的概率为 ．

b?5c8a?2c3b?c??的最小值为 ． a?b2b?3c2c?a8. 已知a?0，b?0，c?0，则

19. 已知z?r，r?1，则?z在复平面内的轨迹的焦距为 ．

z10. 已知a，b，c????a?b?c?，且a，b，c构成以整数为公比的递i?N1?i?169增等比数列，则?a，b，c?的组数为 ． 二、解答题（本大题分4小题，每题20分，计80分）． 11. ⑴ 如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB?FD?5a，FE?6a．已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使

得FQ??FE，FR??FB，求当RD最短时，平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．

F第11题⑴ RQAEBCD⑵ 如图?ABC为正三角形，且BC?CD?2，CD?BC，将?ABC沿BC翻折．若点A的射影在?BCD内，且AB与面ACD所成的角的

222正弦值为，求

11第11题⑵ AD的长．

12. 设C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆．若C和C1，

C2都相切，则C的圆心轨迹是何种曲线？

13. ⑴ 已知函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)，当0?x?1时，f?(x)?1，试

求a的最大值．

⑵ 已知a?0，函数f(x)?lnx?a(x?1),g(x)?ex．

(Ⅰ) 经过原点分别作曲线y?f(x)和y?g(x)的切线l1和l2．已知两切线的斜

e?1e2?1?a?率互为倒数，求证：． ee(Ⅱ) 设h(x)?f(x?1)?g(x)，当x?0时，h(x)?1恒成立，试求实数a的取

值范围．

14. 将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次，以 pn 表示未出现连续 3 次正面的概率．

(Ⅰ) 求p1，p2，p3，p4；

(Ⅱ) 探究数列{ pn}的递推公式，并给出证明；

(Ⅲ) 讨论数列{ pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．