内容发布更新时间 : 2024/10/20 15:56:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题一 第5讲 导数及其应用

一、选择题(每小题4分，共24分)

1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝

A．－e C．1

B．－1 D．e

1

解析 f′(x)＝2f′(1)＋x，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋1， ∴f′(1)＝－1.故选B. 答案 B

x21

2．(2012·泉州模拟)已知曲线y＝4－3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为

A．3 C．1

B．2 1

D.2

解析 设切点为(x0，y0)． 13

∵y′＝2x－x， 131∴2x0－x＝2，

0

解得x0＝3(x0＝－2舍去)． 答案 A

3．(2012·聊城模拟)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是 A．S＝?1(x2－x)dx

?0C．S＝?1(y2－y)dy

?0

B．S＝?1(x－x2)dx

?0D．S＝?1(y－y)dy

?0

解析 两函数图象的交点坐标是(0,1)，(1,1)， 故积分上限是1，下限是0，

由于在[ 0,1]上，x≥x2，故求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面S＝?1(x－

?0x2)dx.

答案 B

32??2x?3x?1,x?0,4．函数f(x)＝?ax在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值

e, x?0??范围是

?1?

A.?2ln 2，＋∞? ??C．(－∞，0]

1??

B.?0，2ln 2? ??1??D.?－∞，2ln 2? ??

解析 当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，函数的极大值点是x＝－1，极小值点是x＝0，当x＝－1时，f(x)＝2，故只要在(0,2]上eax≤2即可，即ax≤ln 2在(0,2]上恒成立，即a≤

答案 D

5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是

1ln2在(0,2]上恒成立，故a≤2ln 2. x

解析 设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，得当x＝－1时，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1、a

x2，则x1x2＝a＝1，D中图象一定不满足该条件．

答案 D

6．设a∈R，若函数f(x)＝eax＋3x(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是

A．(－3,2)

B．(3，＋∞) D．(－3,4)

C．(－∞，－3)

解析 由已知得f′(x)＝3＋aeax，若函数f(x)在x∈R上有大于零的极值点，1

则f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝a?3?ln?－a?，由x＞0得到参数a的取值范围为a＜－3. ??

答案 C

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．(2012·济南三模)曲线y＝ex＋x2在点(0,1)处的切线方程为________． 解析 y′＝ex＋2x，∴所求切线的斜率为e0＋2×0＝1， ∴切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0. 答案 x－y＋1＝0

8．(2012·枣庄市高三一模)?14－x2dx＝________.

?0

解析 ?14－x2dx表示圆x2＋y2＝4中阴影部分的面积的

?0π

大小，易知∠AOB＝6，OC＝1，

∴?14－x2dx＝S△OBC＋S扇形AOB ?011π3π＝2×1×3＋2×6×22＝2＋3. 3π

答案 2＋3 9．(2012·泉州模拟)若函数f(x)＝x－ax＋ln x(a为常数)在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是________．

解析 ∵f(x)＝x－ax＋ln x在(0，＋∞)上是增函数， ∴f′(x)＝1－

a2x?12≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2x＋. xx