内容发布更新时间 : 2024/5/5 13:51:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§8.3 平行关系

1． 直线与平面平行的判定与性质

判定 定义 定理 性质 图形 条件 结论 a∩α＝? a∥α a α，b?α，a∥b b∥α a∥α a∩α＝? a∥α，a β，α∩β＝b a∥b 2． 面面平行的判定与性质 判定 定义 定理 性质 图形 α∩β＝? α∥β aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∩γ＝b α∥β a∥b α∥β，α∩γ＝a， α∥β，aβ a∥α 条件 结论

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面． (3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.

( × ) ( √ ) ( × )

(4)空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD. ( √ ) (5)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.

( × ) ( )

2． 若直线l不平行于平面α，且l?α，则

A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交 答案 B

解析 由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的． 3． 下列命题中，错误的是

( )

A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行

C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 答案 C

解析 由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确．对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面．

4． 已知平面α∥平面β，直线aα，有下列命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．

其中真命题的序号是________． 答案 ②

解析 因为α∥β，aα，所以a∥β，在平面β内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题②为真命题，命题①为假命题．在平面β内存在无数条直线与直线a垂直，故命题③为假命题．

5． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F

在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________． 答案

2

解析 因为直线EF∥平面AB1C，EF平面ABCD， 且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC， 又E是DA的中点，所以F是DC的中点， 1

由中位线定理可得EF＝AC，

2

又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2， 所以AC＝22，所以EF＝2.

题型一 直线与平面平行的判定与性质

例1 (2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三

角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 思维启迪 (1)利用等腰△EDB底边中线和高重合的性质证明； (2)根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线面平行． 证明 (1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO. 由于CB＝CD，所以CO⊥BD. 又EC⊥BD，EC∩CO＝C， CO，EC平面EOC， 所以BD⊥平面EOC， 因此BD⊥EO. 又O为BD的中点， 所以BE＝DE. (2)方法一 如图，

取AB的中点N，连接DM，DN，MN. 因为M是AE的中点， 所以MN∥BE. 又MN

平面BEC，BE平面BEC，

所以MN∥平面BEC. 又因为△ABD为正三角形， 所以∠BDN＝30°.

又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°. 所以DN∥BC.