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2019-2020年高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几
何第9讲空间中的平行与垂直关系教学案理
■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 2．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. ■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查空间位置关系的判断)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
[解析] 根据所给的已知条件作图，如图所示． 由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D. [答案] D
【典题2】 (考查空间位置关系的证明)如图9-1，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，
AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
图9-1
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积． [思路分析] (1)通过证明PA⊥平面ABC得PA⊥BD；
(2)通过证明BD⊥平面PAC得面面垂直；
(3)由PA∥平面BDE，D为AC的中点得PA与DE的位置及数量关系，从而求出三棱锥的体积．
[解] (1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，且AB∩BC＝B，所以
PA⊥平面ABC.
又因为BD?平面ABC，所以PA⊥BD.
(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD，且PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC， 所以平面BDE⊥平面PAC.
(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE. 因为D为AC的中点，
1
所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝2.
2
由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC， 11
所以三棱锥E-BCD的体积V＝BD·DC·DE＝.
63[类题通法] 平行关系及垂直关系的转化
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
■对点即时训练………………………………………………………………………·
如图9-2所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且
PA＝PD＝
2
AD＝2. 2
图9-2
(1)求证：平面PAB⊥平面PCD； (2)求三棱锥D-PBC的体积.
【导学号：07804065】
[解] (1)法一：(几何法)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA. 因为PA＝PD＝2π
AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD. 22
又CD∩PD＝D，所以PA⊥平面PCD. 又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.
法二：(向量法)取AD的中点O、BC的中点Q，连接OP，OQ，易知OQ⊥AD.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PO⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系． 由PA＝PD＝2
AD＝2，知OP＝1. 2
则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，Q(0,2,0)，C(－1,2,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,1)． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， →→
又DC＝(0,2,0)，DP＝(1,0,1)，
?n·→DC＝0，则?→
?n·DP＝0，
??2y＝0，即?
?x＋z＝0，?
令x＝1，则n＝(1,0，－1)．
同理，可求得平面PAB的一个法向量为m＝(－1,0，－1)， 又n·m＝－1×1＋0×0＋(－1)×(－1)＝0， 故平面PAB⊥平面PCD.
(2)取AD的中点O，连接OP，如图． 因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PO⊥平面ABCD.