内容发布更新时间 : 2024/5/25 0:59:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一章 多项式
一．填空题
1、当p(x)是 多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。 2、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
3、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b= 。 4、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。 5、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。 6、f(x)没有重根的充分必要条件是 。 7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。
8．若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(k?1)(x)的 因式 9、a是f(x)的根的充分必要条件是 。
10、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。 11．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。
答案
1、不可约 2、互素 3、a=0,b=1 4、k=3 5、a=3,b=-7 6、(f(x),f’(x))=1 7、k=±2 8. 单因式 9、x-a|f(x) 10、x5-6x4+15x3-20x2+14x-4 11. 充分
二．判断并说明理由
1、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （ ） 2、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( )
23. 设f(x)?P[x]，且f(?1)?f(1)?0，则x?1f(x)． （ ）
4、设p(x)是数域p上不可约多项式，如果p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f?(x)的k-1重因式。 （ ） 5．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。
6．若一整系数多项式f(x)有有理根，则f(x)在有理数域上可约。 7.若f(x)无有理根，则f(x)在Q上不可约。（ ）
8. 在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都是可约的. （ ） 9、f(x)=x4-2x3+8x-10在有理数域上不可约。（ ）
答案 1、√ 2、× 当f(x)是不可约时才成立 3. √ 4、√ 5. √ 6. × 次数≥2时成立 7. × 8. √
1
9、√
三．选择题
1、以下数集不是数域的是（ ） A、?a?bi|a,b是有理数，i2= -1?
B、 ?a?bi|a,b是整数，i2= -1?
C、?a?b2|a,b是有理数? D、?全体有理数?
2、关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ） A、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)?|g(x)则f(x)|h(x)
B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)
C、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x)，则f(x)|g(x)且f(x)|h(x) D、若f(x)?|g(x)，f(x)?|h(x)，则f(x)?|g(x)h(x)
3、关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ）
A、若f(x)|g(x)h(x) 且f(x)|g(x) ,则（f(x),h(x)）=1
B、若存在u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式C、若d(x)|f(x),且有f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式 D、若(f(x)g(x),h(x))=1，则(f(x),h(x))=1且(g(x),h(x))=1（ ） 4、关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（ ）
A、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)
B、若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x),c≠0 C、p(x)是任何数域上的不可约多项式 D、p(x)是有理数域上的不可约多项式
5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）
A、若p(x)是f?(x)的k重因式，则p(x) 是f(x)的k+1重因式 B、若p(x)是f(x)的k重因式，则p(x) 是f(x)，f?(x)的公因式 C、若p(x)是f?(x)的因式，则p(x)是f(x)的重因式
D、若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是
f(x)(f(x),f?(x))的单因式
2
6、关于多项式的根，以下结论不正确的是 （ ）
A、α是f(x)的根的充分必要条件是(x-α)|f(x) B、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约 C、每个次数≥1的复数系数多项式，在复数域中有根 D、一个三次的实系数多项式必有实根
7、设f(x)=x3-3x2+tx-1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。
A、1 B、0 C、-1 D、3或-5
8、设f(x)=x3+tx2+3x-1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。
A、1 B、-1 C、0 D、5或-3
9、设f(x)=x5+5x+1，以下结论不正确的是（ ）
A、f(x)在有理数域上不可约 B、f(x)在有理数域上可约 C、f(x)有一实根 D、f(x)没有有理根 10． f(x)?anxn?an?1xn?1?确的是（ ）
A. p?an,q?a0 B. p?an,q?an C. p?a0,q?an D. p?a0,q?a0
?a1x?a0?Z[x]，若分数
p(p,q互素)是f(x)的有理根，则下列结论正q答案：
1、B 2、C 3、D 4. C 5、D 6、B 7、D 8、D 9、B 10. C
四．计算题
1、求m，p的值使 x2+3x+2|x4-mx2-px+2
解：用带余除法 求得r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12)令r(x)=0即?求得m= -6 p=3
2 求l,m， 使f?x??x?lx?5x?2能被g?x??x?mx?1整除。
322?3m?p?15?0
?m?6?0解法1：因??f?x???3，??g?x???2，故商q?x?满足
??q?x???1，且设q?x??x?p，则由
3
可得x3?lx2?5x?2?x3??m?p?x2??pm?1?x?p，p?2,pm?1?5,p?m?l，f?x??q?x?g?x?，从而
p?2,m?2,l?4。
解法2：用带余除法
x2?mx?1x3 ? lx2 ? 5x?2 x?l?mx3 ? mx2 ? x ?l?m?x2 ? 4x?2 ?l?m?x2?m?l?m?x?l?m 4?m2?lmx?2?m?l
??于是f?x??g?x??x?l?m??4?m2?lmx?2?m?l，因
??g?x?|f?x?，则4?m2?lm?0,2?m?l?0，从而 l?4,m?2。
3．设 f(x)?x4?3x3?x2?4x?3，g(x)?3x3?10x2?2x?3， 求(f(x),g(x))，并求u(x),v(x)使
(f(x),g(x))?u(x)f(x)?v(x)g(x)。
(f(x),g(x))?x?3； u(x)?3122x?1?,???v?(x)??x? x5554、判断f (x)=x4-6x2+8x-3有无重因式，如果有，求其重数.
解：f?(x)=4x3-12x+8 (f(x), f?(x))=(x-1)2 x-1是f(x)的三重因式 注：求f?x?重因式的方法： 1. 求f??x?；
2. 求?f?x?,f??x???d?x?。 当d?x??1，则无重因式。
当d?x??1，则有重因式，且d?x?即为一些重因式的乘积，据此，也可考察f?x?有无重根。 6、求f(x)=4x4-7x2-5x+1的有理根，并写出f(x)在有理数域上的标准分解式。
解：有理根为?
11（二重）分解式为f(x)=4(x+)2(x2-x-1)
224
7、已知i, 2-i 是f(x)=2x5-7x4+8x3-2x2+6x+5的两个根，求f(x)的全部根
解：全部根为 i,-i,2-i,2+i, ?1 28、求以1为二重根，1-i为单根的次数最低的实系数多项式f(x).
解：f(x)=x4-4x3-x2-6x+2
9、已知1-i是f(x)=x4-4x3-5x2-2x-2的根，求f(x)的全部根。
解：全部根为1+i,1-i,1+2,1-2
五．证明题
1、试证用x2-1除f(x)所得余式为
f（1）?f(?1)f(1)?f(?1)x?
22证明：设余式为ax+b，则有f(x)=(x2-1)q(x)+ax+b f(1)=a+b ,f(-1)=-a+b
求得a=
f(1)?f(?1)f(1)?f(?1),b?
222、证明，（f(x)+g(x),f(x)-g(x)）=(f(x),g(x))
证明：(f(x), g(x))=d(x) 则d(x)|f(x)+g(x)d(x)|f(x)-g(x) 设d1(x) 是f(x)+g(x),f(x)-g(x)的任一公因式 则d1(x)|f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf(x) d1(x)|f(x)+g(x)-f(x)+g(x)=zg(x) 故d1(x)|f(x),d1(x)|g(x),从而d1(x)|d(x) 得证
3、设p(x)是次数大于零的多项式，如果对任意多项式f(x)，g(x)，由p(x|f(x)g(x)，可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，那么p(x)是不可约多项式
证明：假设p(x)是可约的，设p(x)=p1(x)p2(x) 其中? (p1 (x))
4.设p?x?是P?x?中一个次数?1的多项式。如果对于?f?x?,g?x??P?x?，从p?x?|f?x?g?x?可推出
p?x?|f?x?，或p?x?|g?x?，则p?x?是P?x?中的一个不可约多项式。
证明：类似上题，用反证法。若p?x??P?x?可约，则p?x?可分解为
p?x??f1?x??f2?x?,??f1?x??,??f2?x?????p?x??，且p?x?|f1?x?f2?x?，故由题设有 p?x?|f1?x?或p?x?|f2?x?，矛盾。
5
5.设p?x?是P?x?中一个次数?1的多项式。如果对?f?x??P?x?，都有p?x?|f?x?或?p?x?,f?x???1，则
p?x?是数域P上的不可约多项式。
证明：用反证法。如果p?x?在P上可约，则p?x?可表成两个次数较低的多项式的乘积：
p?x??f1?x?f2?x?，且可设f1?x?的首项系数为1，于是p?x??|f1?x?，且?p?x?,f1?x???f1?x??1，与题
设矛盾。
6、设f(x)=anxn+an-1xn-1+…a1x+a0是整系数多项式证明，如果a0，an均为奇数，f(1)，f(-1)中至少有一个为奇数，那么f(x)无有理根
证明：若f(x)有有理根
uu，（u,v互素），则v|an u|a0,知u,v均为奇数，由x-|f(x)得，vx-u|f(x)，取x=1vv有u-v|f(1)，u+v|f(-1)，故f(1),f(-1)均为偶数，这与题设矛盾，所以f(x)无有理根。
6