内容发布更新时间 : 2024/6/26 14:30:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

5.设p?x?是P?x?中一个次数?1的多项式。如果对?f?x??P?x?，都有p?x?|f?x?或?p?x?,f?x???1，则

p?x?是数域P上的不可约多项式。

证明：用反证法。如果p?x?在P上可约，则p?x?可表成两个次数较低的多项式的乘积：

p?x??f1?x?f2?x?，且可设f1?x?的首项系数为1，于是p?x??|f1?x?，且?p?x?,f1?x???f1?x??1，与题

设矛盾。

6、设f(x)=anxn+an-1xn-1+…a1x+a0是整系数多项式证明，如果a0，an均为奇数，f(1)，f(-1)中至少有一个为奇数，那么f(x)无有理根

证明：若f(x)有有理根

uu，（u,v互素），则v|an u|a0,知u,v均为奇数，由x-|f(x)得，vx-u|f(x)，取x=1vv有u-v|f(1)，u+v|f(-1)，故f(1),f(-1)均为偶数，这与题设矛盾，所以f(x)无有理根。

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