第一章 多项式 练习题 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/6/17 7:16:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

5.设p?x?是P?x?中一个次数?1的多项式。如果对?f?x??P?x?,都有p?x?|f?x?或?p?x?,f?x???1,则

p?x?是数域P上的不可约多项式。

证明:用反证法。如果p?x?在P上可约,则p?x?可表成两个次数较低的多项式的乘积:

p?x??f1?x?f2?x?,且可设f1?x?的首项系数为1,于是p?x??|f1?x?,且?p?x?,f1?x???f1?x??1,与题

设矛盾。

6、设f(x)=anxn+an-1xn-1+…a1x+a0是整系数多项式证明,如果a0,an均为奇数,f(1),f(-1)中至少有一个为奇数,那么f(x)无有理根

证明:若f(x)有有理根

uu,(u,v互素),则v|an u|a0,知u,v均为奇数,由x-|f(x)得,vx-u|f(x),取x=1vv有u-v|f(1),u+v|f(-1),故f(1),f(-1)均为偶数,这与题设矛盾,所以f(x)无有理根。

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