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2010年高考数学试题分类汇编——函数
（2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
若实数x、y、m满足x?m?y?m，则称x比y接近m. （1）若x?1比3接近0，求x的取值范围；
2233（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：ab?ab比a?b接近2abab；
2（3）已知函数f(x)的定义域Dxx?k?,k?Z,x?R.任取x?D，f(x)等于1?sinx和1?sinx中接近0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. 解析：(1) x?(?2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有a2b?ab2?2abab，a3?b3?2abab， 因为|a2b?ab2?2abab|?|a3?b3?2abab|??(a?b)(a?b)2?0，
所以|a2b?ab2?2abab|?|a3?b3?2abab|，即a2b?ab2比a3?b3接近2abab； ?1?sinx,x?(2k???,2k?)?1?|sinx|,x?k?,k?Z， (3) f(x)??1?sinx,x?(2k?,2k???)???f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T??，函数f(x)的最小值为0， 函数f(x)在区间[k??
（2010湖南文数）21．（本小题满分13分） 已知函数f(x)??,k?)单调递增，在区间(k?,k??]单调递减，k?Z．
22?a?x?(a?1)lnx?15a,其中a<0,且a≠-1. x（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）设函数
g(x)?{e?f(x),x?1(?2x3?3ax3?6ax?4a2?6a)ex,x?1（e是自然数的底数）。是
否存在a，使g(x)在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
（2010浙江理数） (22)(本题满分14分)已知a是给定的实常数，设函数
f(x)?(x?a)2(x?b)e2，b?R， x?a是f(x)的一个极大值点．
(Ⅰ)求b的取值范围；
(Ⅱ)设x1,x2,x3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4?R，使得
x1,x2,x3,x4的某种排列xi1,xi2,xi3,xi4(其中?i1,i2,i3,i4?=?1,2,3,4?)依次成等差数列?若存
在，求所有的b及相应的x4；若不存在，说明理由．
解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
2（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a) ?x??(3?a?b)x?2b?ab?a??,
令
g(x)?x2?(3?a?b)x?2b?ab?a,则?=(3-a+b)?4(2b?ab?a)?(a?b?1)?8?0,22
于是，假设x1,x2是g(x)?0的两个实根，且x1?x2.
（1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。 （2） 当x1?a且x2?a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1 即a?(3?a?b)a?2b?ab?a?0 所以b＜-a 所以b的取值范围是（-∞，-a） 2 此时x4?2x2?a?a?b?3?(a?b?1)2?8?a?a?26 2或x4?2x2?a?a?b?3?(a?b?1)?8?a?a?26 （2）当x2?a?a?x1时，则x2?a?2(a?x1)或(a?x1)?2(x2?a)