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吉林省实验中学 2013届高三一模
数学（理）试题
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝?x|
x－2?
≤0?，则A?B＝
??x
?
（ ）
A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
2．已知a?R，则“a?2”是“a2?2a”的
3 4
（ ）
：
A．充分不必要条件
C．充要条件 ．已知命题p （ ） A．┐p：?x∈R，x＜sinx C．┐p：?x∈R，x≤sinx ．
已
知
log7[log3
（
log2x
B．必要不充分条件
D．既非充分也非必要条件 ?x∈R，x＞sinxB．┐p：?x∈R，x≤sinx D．┐p：?x∈R，x＜sinx
12，则
）]＝0，那么
x- 等于
（ ） B．
323
C． D． 643
1
A．
3
15．给定函数①y=x2，②y=log1(x?1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间（0，1）上单调
2递
A．①②
减的函数的C．③④
序号D．①④
是
（ ）
B．②③
6．下列函数中，值域为（0，＋∞）的是 （ ）
2
2-1sinx
A．y＝x－x＋1 B．y＝x＋（x＞0） C．y＝e D．y＝(x?1)3
x
7．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为
（ ）
A．
1
121B．
41C．
3
D．
7 12
8．设曲线y＝x2＋1在其任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y＝g（x）cos x的部
1
分
图
（ ）
象
可
以
为
9．已知函数f(x)?2x?x，g(x)?x?log1x，h(x)?log2x?x的零点分别为x1,x2,x3，则
2x1,x2,x3的大小关系为
（ ） B．x2?x1?x3
C．x1?x3?x2
D．x3?x2?x1
A．x1?x2?x3
10．函数f(x)在定义域R上不是常数函数，且f(x)满足条件：对任意的x∈R，都有
，则是 f(2?x)?f(2?x，)f(1?x)??f(x)f(x)
（ ）
B．偶函数但非奇函数
A．奇函数但非偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
11．设函数f（x）的定义域是R，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，
f （x）＝ln x－x，则有 （ ）
A．f()?f()?f()
323132B．f()?f()?f()
323231C．f()?f()?f()
332213D．f()?f()?f()
23332112．已知函数f（x）是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x2，如果
直线y＝x＋a与曲线y＝f（x）恰有两个不同的交点，则实数a的值为 （ ）
A．2k （k∈Z） C．0
1
B．2k或2k＋ （k∈Z）
41
D．2k或2k－ （k∈Z）
4
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．函数y＝x＋1＋lg（2－x）的定义域是________．
??log2x，x?0f(x)?14．已知函数，若f(a)?3，则a? ． ?x?2， x≤0??15．对于任意实数a、b，定义min{a，b}＝??a，a≤b?b，a?b，设函数f（x）＝－x＋3，g（x）＝log2x，
则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________．
16．已知函数f(x)=lgx，若b?0，则关于x的方程(f(x))2+bf(x)=0的所有不同实数根的积
2
为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）
5
已知全集U＝R，集合A＝{x|log2（3－x）≤2}，集合B＝{x|≥1}．
x＋2（Ⅰ）求A，B； （Ⅱ）求（?UA）?
18．（本小题满分12分）
2??x-x-6≤0设p：实数x满足x－4ax＋3a?0，其中a?0，q：实数x满足?2．
??x+2x-8?022B．
（Ⅰ）若a?1,且p?q为真，求实数x的取值范围； （Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分12分）
2
已知f （x）＝x－x＋k，且log2f （a）＝2，f （log2a）＝k（a＞0，a≠1） ． （Ⅰ）求a，k的值； （Ⅱ）当x为何值时，f （logax）有最小值？并求出该最小值． 20．（本小题满分12分） D1 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?2，
AA1?3，AD?22P B1
C1
，P为C1D1的中点，M
A1 D C M
为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM?PM；
（Ⅱ）求AD与平面AMP所成角的正弦值． 21．（本小题满分12分）
已知关于x的函数f?x???x?a?lnx?x?a． （Ⅰ）设g?x??f??x?，求函数g?x?的单调区间； （Ⅱ）若a≥1eA B
，试求函数f?x???x?a?lnx?x?a的零点个数．
22．（本小题满分12分）
3
已知函数f （x）＝x2＋x－ln（x＋a）＋3b在x＝0处取得极值0． （Ⅰ）求实数a、b的值； （Ⅱ）若关于x的方程f （x）＝
数m的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n＞1，不等式1+
1252x＋m在区间[0，2]上恰有2个不同的实数解，求实
+
13+……+
1n?1＞lnn?12都成立．
参考答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）
4
题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 B 6 D 7 A 8 A 9 D 10 B 11 A 12 D 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13． [－1,2） 14． 8 15．1 16．?1 三．解答题
17．解：（Ⅰ）由已知得log2（3－x）≤log2 4，
??3－x≤4，
?∴解得－1≤x＜3，∴A＝{x|－1≤x＜3}． ……2分 ?3－x＞0，?
由
5
≥1，得（x＋2）（x－3）≤0，且x＋2≠0，解得－2＜x≤3． ……4分 x＋2
∴B＝{x|－2＜x≤3}． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得?UA＝{x|x＜－1或x≥3}． ……8分
故（?UA）∩B＝{x|－2＜x＜－1或x＝3}． ……10分 18．解：（Ⅰ）由x2?4ax?3a2?0得(x?3a)(x?a)?0，
当a?1时，解得1 2??x?x?6?0由?,得2?x?3,即q为真时实数x的取值范围是2?x?3． ……4 2??x?2x?8?0分 若p?q为真，则p真且q真， 所以实数x的取值范围是2?x?3． …………………………6分 ?q， …………………………8分 （Ⅱ）p是q的必要不充分条件，即q?p,且p?设A=?xp(x)?, B =?xq(x)?, 则A??B, 又B?(2,3],当a?0时，A=(a,3a)；a?0时，A??3a,a?． ?a?2,?3?3a,所以当a?0时，有?解得1?a?2; ……………………10分 当a?0时，显然A?B??，不合题意． 所以实数a的取值范围是1?a?2． ……………………12分 2 ??a－a＋k＝4 119．解：（Ⅰ）由题得? 2 ?log2a－log2a＋k＝k 2? 5