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中山大学法学院2012年秋季学期期末试题

博弈论

任课教师 丁建峰 考试时间120分钟

试卷说明

本试卷分为A组题和B组题，每组题的满分均为100分（包括基础题30分，选做题70分），请您任选一组题作答即可，在回答总分为70分的“选做题”时，请不要从A组和B组当中混杂挑选，这样会给评分带来实质上的困难，如发现此种情况，则只能按照您选作的两组题目中的低分组给分。在答卷的第一行，请用清楚的大字写明您选择的是A组题还是B组题。另外，答卷中要写清楚题号。

基础题

（总分30分，A组题与B组题共用）

1.找出下列博弈的纯策略纳什均衡（10分）找出它的混合策略纳什均衡（8分）计算在混合策略纳什均衡下面A和B各自的预期支付（4分）。

纯策略均衡为（D,L），（M,R）。每找对1个5分。 混合策略纳什均衡为（（M，D；0.2,0.8），（L，R；0.5,0.5））（每个概率算2分） 预期支付，参与人A得3，参与人B得7.4（每问2分）

2.找出下列博弈的子博弈完美纳什均衡的均衡路径（8分）。

1

这个博弈中，最上层的丙不可能选Q，必然选P。乙选X，Y无差异。 中层以乙的决策开始的子博弈中，乙选择X。

由此可知，甲选择D在收益上占优于选择U和M，因此甲直接选D。 （此题是蜈蚣博弈的一个变形）。

此题不分点给分，凡做错的一律扣去8分。因为此题若分点，则评分过于繁琐。

A组题（70分，计算与证明）

A3（15分）.考虑以下的阶段博弈重复无穷多次的情形（其中Ｃ代表合作，Ｄ表示背叛，且a＞0）。

B C D

C (2, 2) (0, 2+a) A D

(2+a, 0) (1, 1)

(1)若(C,C)要作为子博弈完美均衡成立，假如A，B两人均采用冷酷策略作为保持合作的手段，求A，B两人的贴现因子的取值范围。(7分)

(2)现在A，B两人都采用有限阶段惩罚策略，且惩罚次数为2次。即，若发现对方背叛合作，另一方连续惩罚对方两次（即在观察到对方背叛后，连续两次选择“背叛”，然后继续转为合作）。问当a的取值范围为多少时，有限阶段惩罚不可能引导出无穷期重复博弈中的（C，C）均衡？（8分） 【解】（1）令2+2δ/(1-δ)＞2+a+δ/(1-δ)，解这个不等式，得到δ＞a/(a+1)，亦即 1≥δ＞a/(a+1)，由于该博弈为对称博弈，因此两人的贴现因子取值范围相同。 （2）A，B两人采用有限阶段惩罚，因此，受到惩罚时，背叛者的收益为组合（C，D），（D，D），（D，D）的收益。而一直合作的收益为（C，C）（C，C）（C，C）的收益。由于我们要计算有限惩罚不成功时a的取值范围，因此令背

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叛者的收益大于合作者的收益。 即：2+a+δ+δ2＞2+2δ+2δ2；

这个不等式恒定成立的条件是a＞δ+δ2

由于δ+δ2在[0,1]区间上的最大值为2，亦即a＞2时，这个不等式恒成立。

?1+1+4a?1+1+4a22解法2：解不等式δ2+δ-a＞0，解得δ＞，又因为δ≤1，因此若=1，即找不到使合作成为可能的δ。解得a的阈值为2。

A4（10分）. 假设在某个有100人的小城要建一个开放式公园。需要大家来捐钱，要求每位热心市民捐100元（即，市民要么捐100元，要么不捐）。凑的钱越多盖的公园越舒适美观，每位市民的享受也就越多。但是有些人偏偏就不捐，而且不捐的人也可以到公园游玩，享受公园带来的好处。假设100人当中有n个人捐了钱，那么，每位市民不管捐没捐钱，各自从公园中得到的利益均为n2（以金钱为单位衡量）。

（1）如果只有10个人捐款，那么，如果一个市民仅仅考虑自己的利益，他会不会捐款？（5分）

（2）假如你是市长，想要每个人都捐钱，你可以游说某些人说服他们捐款。请问：你至少要说服多少人捐献，才能让其他所有人都自愿捐献？（5分） 解：（1）若只有10人捐款，那么捐款的预期收益为11*11-100=21，而不捐的预期收益为100。因此最优选择为“不捐”。 【注】题目中的“只有10人捐款”，有人计算为10*10-100=0。这个计算是错误的，不能得分。因为此时10人之中，必不包括该市民。因为捐款者如果包括该市民的话，那么该市民已经捐款，无须考虑“捐还是不捐”的问题，而且，一旦该市民决定不捐，难道还要从10人之中剔除掉他吗？ 因此，“只有10人捐款”的正确理解为“在该市民决策时，只有10个其他市民捐款”，而该市民决策后是“不捐”，因此他也不可能增加捐款人的数量。

（2）设有x人捐款，则代表性市民捐款的预期收益为（x+1）2-100,不捐款的预

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期收益为x2，令（x+1）-100＞x2，解得x＞49.5。亦即只有说服至少50人捐款，其他人才会自愿捐献。

A5（10分）. 有个小国有三个政党，它们的“代号”分别是毛虫党、黄雀党和绿叶党，毛虫党独立参选可以获得50个议席；黄雀党独立参选可以获得80个议席；绿叶党独立参选可以获得100个议席。如果毛虫党和黄雀党联盟参加竞选，可以获得120个议席；毛虫党和绿叶党联盟参选，也可以获得120个议席；黄雀党和绿叶党联盟参选，可以获得200个议席。现在，毛虫党、黄雀党和绿叶党三个党结成联盟参加竞选，共获得了300个议席。请问，按照2012年诺贝尔奖得主罗伊德·夏普利（Lloyd S. Shapley）教授提出的方法，三党之间如何分配这300个议席最为公平合理？

【解】设三党参选次序为（毛，黄，绿）（毛，绿，黄），（黄，毛，绿），（绿，毛，黄），（黄，绿，毛），（绿，黄，毛）。毛虫党的边际贡献分别为50,50,40,20,100,100。将其平均可得60。即毛虫党得到60席。 设三党参选次序为（黄，毛，绿），（黄，绿，毛），（毛，黄，绿），（绿，黄，毛），

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（毛，绿，黄），（绿，毛，黄），黄雀党的边际贡献分别为80,80,70,100,180,180，平均得115席。

故而绿叶党可得125席。

计算正确1个，给3分；2个，给7分；3个，给10分。

A6（10分）. 考虑Marienbad游戏如下，有两个参与人和两篮彩色球，红色篮子里装了28个红球，蓝色篮子里装了18个蓝球，两人轮流从篮子里拿掉彩色球，他们每次可以拿掉任意多个球，但只能从一个篮子里拿球。举个例子：参与人1可以一次拿掉3个红球，也可以一次拿掉4个蓝球，但不能同时拿掉1个红球和1个蓝球。每一次，轮到的那一方必须至少拿掉一个球。被迫拿掉最后一个红球的一方为游戏的失败方。请解释在这个游戏中哪一方具有必胜策略，并把这个必胜策略清楚地表示出来。

【解】这个游戏中参与人1具有必胜策略。策略是，先从红色篮子中拿走9个红球，使阵型变为（19红，18蓝）。然后，不管对手如何取，总是取和对方的球颜色不同的球，且数量相等。例如，对方如果取3个红球，则我取3个蓝球。对方如果取2个蓝球，则我取2个红球。这样的策略是必胜的。

此题实际上是“尼姆”游戏的变形，胜型是1红，然后2红1蓝是胜型（可以不断尝试，最后得出一个确定的胜型，例如1红2蓝必输），3红2蓝是胜型，如此一直逆推过去，可以归纳出结论。

此题偏离正确做法的都不给分，但是，写出一个胜型来的给1分。写出两个的给2分。做法错误者最多不超过3分。

A7（25分）. 一个市议会由三个议员A\\B\\C组成，他们每年投票决定是否为议员加薪。每个议员都希望加薪。但却都想投反对票，因为这样选民才会对自己有好印象。每位议员的支付如下： 加薪通过，自己投反对票，得,11 加薪没通过，自己投反对票，得5 加薪通过，自己投赞成票，得4 加薪没通过，自己投赞成票，得0

投票是同时进行的，而且采取少数服从多数的规则。 （1）（10分）证明在单次博弈中，任何加薪的提案都无法通过。 （2）（15分）证明在无穷多次博弈中，如果市民是健忘的（即议员今年投票的结果只会影响本年度他的收益，而不会影响以后年度的收益），且三位议员的贴现因子δ均大于0.5，那么每年的加薪提案都会成功通过。 （1）画出收益矩阵，容易证明，“投反对票”是一个占优策略。 以A为例，若B，C投赞成票，A投赞成票得4，投反对票得11。 若B，C中有1人赞成，1人反对，A投赞成票得4，投反对票得5 若B，C均反对，A投赞成票得0，投反对票得5 无论如何，投反对票均好于投赞成票。

此题如果推导过程有误（例如，画出错误的矩阵），则不得分。但若写“投反对

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票的最低收益为5，高于投赞成票的最高收益4”的，得8分（这样写是正确的，但过于取巧）。写明“反对票是占优策略纳什均衡”的，补给1分。 【说明】写“无论加薪是否通过，投反对票的收益总是大于投赞成票的收益”的，不得分。因为加薪通过与否并不是预先给定的，而是与议员投反对票和赞成票有关。这样写在逻辑上是不合适的。

（2）在无穷多次博弈中，对于3个人而言，他们可以互相协调为（赞成，赞成，反对），（赞成，反对，赞成），（反对，赞成，赞成）——即，每年有1人反对，2人赞成。同时，采用冷酷策略惩罚背叛者（如果有人背叛这个合作协议，此后每年都投反对票）。因此，可以得出如下的不等式： 11+4δ+4δ2>5+5δ+5δ2 4+11δ+4δ2>5+5δ+5δ2 4+4δ+11δ2>5+5δ+5δ2

由于11+4δ+4δ2>4+11δ+4δ2>4+4δ+11δ2，因此只需要解最下面的不等式即可。 解得δ的阈值为0.5。亦即，当δ大于0.5时，以上三个不等式都成立。亦即每年的提案都会成功以多数票通过。

B组题（70分，论述题）

B3(30分). B3（35分）.康德在《历史理性批判文集》中指出，“大自然迫使人类去加以解决的最大问题，就是建立起一个普遍法治的公民社会”（何兆武译，商务印书馆1990年版，第8页）。目前，中国社会正处在向着“民主法治下的良序市场社会”变迁的“伟大转型”的历程中，并且正处于一个十分关键的时点。作为一个法学学生，学习以博弈论为代表的现代社会科学知识，对你思考中国的民主、宪政、法治等根本问题有何帮助和启发？试集中论述对你启发最大的一个或两个主题。

B4（35分）.以下两小题，任选一题论述。（如两题都答，按得分低者计分） （1）博弈论，英文为“game theory”，直译做“游戏理论”。请问“game theory”中的game一词，与日常语言中的game（游戏）一词，在内涵和外延上，有何相同之处与不同之处？对于“game”（游戏）含义的不同理解，会如何影响我们对于社会生活的分析与认识？

（2）设想在浩渺的宇宙中有这样一个星球，它上面有与人相类似的、能够进行理性计算的高等智慧生物（姑且称他们为“外星人”，尽管这样也许是对其他物种的冒犯——我们人类是不愿意被称为“无尾猴子”或“裸体猩猩”的）。这种外星人的社会生活，假定与本世纪的人类十分相似，唯一的不同是他们直接通过脑电波传递信息，这就意味着他们的思想过程是透明的——他们彼此会直接阅读对方的脑电波。

请问在这样的星球上，人们之间的理性互动（博弈）的形式与地球上会有何不同？

【说明】

论述题没有标准答案，出题要旨是：B3考察学生对社会现实问题的关注，以及用博弈论分析政治法律问题的能力。B4考察学生的想象力和创造力。以思路清晰，论述详明，观点新颖，

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