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2017年上海市金山区高三一模数学试卷

一、填空题（共12小题；共60分）

1. 若集合 ， ，则 ______． 2. 若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 ______． 3. 若 ，且 为第四象限角，则 的值等于______．

4. 函数 的最小正周期 ______．

5. 函数 的反函数为 ，且 的图象过点 ，那么

______． 6. 点 到双曲线

的渐近线的距离是______．

7. 若 ， 满足 则 的最大值为______．

8. 从 名学生中任选 人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有______ 种不同的选法（结果用数值表示）．

9. 方程 （ 为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是______．（结果化为普通方程）

10. 若 是 展开式中 项的二次项系数，则

______．

11. 设数列 是集合 且 中所有的数从小到大排列成的数列，即

， ， ， ， ， ， ，将数列 中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则 的值为______．

12. 曲线 是平面内到直线 和直线 的距离之积等于常数 的点的轨迹，

下列四个结论：

① 曲线 过点 ；

② 曲线 关于点 成中心对称；

③ 若点 在曲线 上，点 ， 分别在直线 ， 上，则 不小于 ；

④ 设 为曲线 上任意一点，则点 关于直线 ，点 及直线 对称的点分别为 ， ， ，则四边形 的面积为定值 ； 其中，所有正确结论的序号是______．

二、选择题（共4小题；共20分）

13. 给定空间中的直线 与平面 ，则“直线 与平面 垂直”是“直线 垂直于平面 上无数条直线”

的 条件．

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A. 充分非必要 C. 充要

14. 已知 ，且 ，则

A. C.

B. 必要非充分 D. 既不充分也不必要

B. D.

15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为

A.

B.

C.

D.

16. 已知函数 （ ，且 ），在 上单调递减，且关于

的方程 恰好有两个不相等的实数解，则 的取值范围是 A. C.

B. D.

三、解答题（共5小题；共65分）

17. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， 与平面

所成的角依次是 和 ， ， ， 依次是 ， 的中点．

（1）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求三棱锥 的体积．

18. 已知 中， ，

； ，设 ，记

（1）求函数 的解析式及定义域；

（2）试写出函数 的单调递增区间，并求方程 的解．

19. 已知椭圆 以原点为中心，左焦点 的坐标是 ，长轴长是短轴长的 倍，直线 与椭

圆 交于点 与 ，且 ， 都在 轴上方，满足 ．

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（1）求椭圆 的标准方程；

（2）对于动直线 ，是否存在一个定点，无论 如何变化，直线 总经过此定点?若存在，

求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 已知二次函数 为偶函数， ，

．关于 的方程 有且仅有一根 ．

（1）求 ， ， 的值；

（2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围； （3）令 ，若存在

实数 的取值范围．

21. 数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ，都有

（1）试证明数列 是等差数列，并求其通项公式；

（2）如果等比数列 共有 项，其首项与公比均为 ，在数列 的每相邻两项 与

之间插入 个 后，得到一个新数列 ，求数列 中所有项的和； （3）如果存在 ，使不等式

实数 的范围，若不存在，请说明理由．

使得 ，求

：

成立，若存在，求

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