内容发布更新时间 : 2024/9/20 10:33:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
高三数学公开课教案数形结合 函数
长沙县第三中学
教学目的：通过本节课的学习,使学生对如何寻找数学问题中内含的几何意义,充分利用几何图
形的性质,直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体会,对数形结合解题的思想方法有一定的了解,并能用以帮助解题。 情感与技能目标：培养学生辩证的世界观和不屈不挠的探索精神。提高学生观察、分析问题能
力和实践动手能力。 教学重点：“数形结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。 教学难点：“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。 教学手段：多媒体辅助教学
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数”。一般地说：“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“由数想形”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。“数无形时少直观，形无数时难人微\，华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合\对数学研究和学习的重要性。
数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性.
一练习：
1.（04天津）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0,
5??]时,f(x)=sinx，则f()的值为（ D ）
32A. -
3311 B . C. - D . 2222352∴f(π)=f(π)=
233y -π 0 π 2π x
解析：依据偶函数与周期函数的特征，可以画出y=f(x)的简图
??x?1,x?0?22.设函数f(x)= ，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（ D ） ?1??x2,x?0 A. (－1，1) B.（－1，＋∞）
C.（－∞，－2）∪（0，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞） 3.( 05上海理16) 设定义域为为R的函数f(x)???|lg|x?1||x?1 ，则关于x的方程
0x?1?f2(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的实数解的充要条件是 (C ) (A) b<0且c>0； (B) b>0且c<0；
(C) b<0且c=0； (D) b?0且c=0。
y 1 0 22 解析：f(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的
2
实数解的充要条件是f(x)+bf(x)+c = 0有一根为0故c=0且b<0
2x
4.已知a≥0,函数f(x)=(x-2ax)e在[-1,1]上是单调函数,则a的取值范围是________.
x2x解析 令f?(x)?(2x?2a)e?(x?2ax)e?0,解得
x x1?a?1?a2?1,x2?a?1?a2?1. 易知x1??1,x2?0.
2x由图可知,当a?0时,函数f(x)?(x?2ax)e在 [?1,1]上是单调函数的充要条件是x2?1,
3即a?1?a2?1?1?a?.
4二.例题解析
例题1. 求函数y= 的最大值和最小值。
x?x1??1
x?x2?0
sinx2?cosx图
sinx解：函数 y= 可视为：点A(－2，0）与点P(sinx,cosx)的连线的斜率
2?cosx
则y的最值即为kAP的最值。而点P为单位圆上的一个动点，则当直线Ap与单位圆相切时kAP取得最值。
设直线AP的方程为：y=k(x+2)，由圆心到直线的距离为1， 则有： |k(0?2)?0|1?k2?1 解之得：k=±3, 3故y的最大值为：33 最小值为：－ 33(y1?y2)入手，由数想形。建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求
(x1?x2)小结：从数的形和构：
解。构造几何模型来求解。 例题2.(2003全国卷19) 已知c>0 设
x
P：函数y = c 在R上单调递减 ； Q：不等式x+∣x—2c∣>1的解集为R. 如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。 解:
x在R上单调递减 则：0
则c∈(0, 小结:
1]∪[1,+∞) 22
例题3：已知关于x的方程 x＋(
12
－2m)x＋m－1=0(m是与x无关的实数)的两个实根在区间2[0，2]内，求m的取值范围。
22
解：令f(x)= x＋( 1－2m)x＋m－1，由f(x)=0的两根落在区间[0，2]内，
11 22?2m22?2m2
x=－ ∈[0,2] (对称轴) x=－ ∈[0,2] (对称轴)
????????1???2m??（判别式） 则有? f(－ ) ＜0 （顶点） ?△＞0 2??? ?2? ???（端点） ≥0 ?f(0)≥0 （端点） f(0)??（端点） ≥0 ?f(2)≥0 （端点） f(2)??????
? 0≤－ +2m ≤4 ?1?122
2＋m－1＜0 ?即为 －( －m)4???2
?m－1≥0
17?12
4?＋( －2m)2＋m－1≥0 解之得：{m|1≤m＜ } 82??
小结： “以形辅数”，化难为易。转化为熟悉的几何模型来求解
2
???????????思考题:(06上海春21)设函数f(x)=|x-4x-5| （1）在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像; （2）集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[6,+∞).试判断集合A和B之间的关系,并给出证明; （3）当k>2时,求证在区间[-1,5]上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方. 21.解:(1)
y 8 6 4 2 -2 0 4 x 2 6 -2 (2)方程f(x)=5的解分别是2-14，0和2+14，由于f(x)在（-∞，1]和[-1，2]和[5，+∞）上单调递增，因此A=(-∞,2-14]∪[2+14,+∞). 由于2+14<6, 2-14>-2, ∴B?A
2
(3)[解法一]当x∈[-1,5]时,f(x)=-x+4x+5
2
g(x)=k(x+3)-( -x+4x+5)
2
=x+(k-4)x+(3k-5)
4?k2 k2?20k?36=(x-) ? ,
424?k<1 ,又-1≤x≤5, 24?k①当-1≤<1, 即2 2∵k>2, ∴ k2?20k?364?k12取x=, g(x)min=?=?[(k?10)?64] 424∵16≤(k-10)<64 , ∴ (k-10)-64<0 , 则g(x)min>0 2 2